Você dispõe de um dispositivo de resistência $R = 5r$ e de $32$ baterias idênticas, cada qual com resistência $r$ e força eletromotriz $\text{V}$. Como seriam associadas as baterias, de modo a obter a máxima corrente que atravesse $R$? Justifique.

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Nicholas Admin 21/04/2022 19:18
Podemos dispor as baterias em paralelo ou em série.
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Qual configuração maximiza a corrente em $R$? Ao ligar as baterias em série, as tensões das baterias se somam, assim como as suas resistências internas:$$\begin{cases}V_\text{série} = V_1+V_2+\cdots\\ R_\text{série}=R_1 + R_2 +\cdots\end{cases}$$Enquanto ao ligar as baterias em paralelo, as tensões não se somam e a resistência diminui!$$\begin{cases}V_\text{paralelo} = V\\ R_\text{paralelo}=\dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} +\cdots}\end{cases}$$Para maximizar a corrente $R$ é simultaneamente necessário maximizar a tensão e minimizar a resistência do arranjo de baterias. Então, devemos formar conjuntos de baterias ligadas em série, que por sua vez serão ligadas em ramos paralelos. Vamos demonstrar que o arranjo ótimo ocorre com o paralelo entre $2$ ramos, cada um com $16$ baterias!$$\Rule{300px}{0.5px}{0.5px}$$Supondo que há $k$ ramos em ligados em paralelo, então cada ramo deve conter $32/k$ baterias em série. A tensão e resistência finais serão:$$\begin{cases}V_\text{final}=V_\text{série}\\ R_\text{final}=\dfrac{1}{\underbrace{\frac{1}{R_\text{série}}+\frac{1}{R_\text{série}}+\cdots}_{k\text{ vezes}}}+R_\text{carga}\end{cases}$$Assim, com $V_\text{série}=\frac{32V}{k}$ e $R_\text{série}=\frac{32R}{k}$:$$\begin{cases}V_\text{final}=\dfrac{32}{k}\cdot V\\ R_\text{final}=\left(\dfrac{32}{k^2}+5\right)\cdot r\end{cases}$$Já a corrente que queremos maximizar é $I=\dfrac{V_\text{final}}{R_\text{final}}$. Logo:$$I=\dfrac{32}{\frac{32}{k}+5k}\cdot\dfrac{V}{r}$$Portanto, basta encontrar qual o $k$ que maximiza a expressão acima! Para facilitar, vamos procurar valores de $k$ que minimizem o denominador. Como $k$ deve ser divisor de $32$, temos apenas as seguintes possibilidades:\begin{align} k=1&\quad\to\frac{32}{1}+5\cdot 1 &= 37\\ k=2&\quad\to\frac{32}{2}+5\cdot 2 &= \boxed{26}\\ k=4&\quad\to\frac{32}{4}+5\cdot 4 &= 28\\ k=8&\quad\to\frac{32}{8}+5\cdot 8 &= 44\\ k=16&\quad\to\frac{32}{16}+5\cdot 16 &= 82\\ k=32&\quad\to\frac{32}{32}+5\cdot 32 &= 161 \end{align}Então, nossa solução ideal conta com $k=2$ ramos em paralelo, cada um com $\frac{32}{k}=16$ baterias em série. Ou então, como no gabarito, devem haver $16$ baterias em série associadas em paralelo com outras $16$ em série.$$\Rule{300px}{0.5px}{0.5px}$$Um outro método, para problemas mais complexos, é derivar a expressão $\dfrac{32k}{32+5k^2}$ e igualá-la a zero, para então escolher o $k$ divisor de $32$ mais próximo do resultado. Neste caso, $k_\text{ideal}=2{,}53$ acusando já que $k=2$ é a solução viável mais próxima.
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ITA IIIT
11:27 22/04/2022
Muito obrigado, Nicholas! Esclareceu tudo!
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