Deseja-se enrolar um solenóide de comprimento $z$ e diâmetro $D$, utilizando-se uma única camada de fio de cobre de diâmetro $d$ enrolado o mais junto possível. A uma temperatura de $75\ ^\circ C$, a resistência por unidade de comprimento do fio é $r$. Afim de evitar que a temperatura ultrapasse os $75\ ^\circ\text{C}$, pretende-se restringir a um valor $P$ a potência dissipada por efeito Joule. O máximo valor do campo de indução magnética que se pode obter dentro do solenóide é


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ITA IIIT 10/05/2022 19:25
O campo magnético num solenóide pode ser representado por: \begin{matrix} B = \mu_0 {{\dfrac{n}{z}}} i \end{matrix}Segundo o primeiro período do enunciado, o fio de cobre é enrolado o mais junto possível, então, pode-se dizer que: \begin{matrix}z = n.d &,& n: \text{número de espiras} &\Rightarrow& B = \mu_0 {{\dfrac{1}{d}}} i & (1) \end{matrix}O comando da questão ainda informa a presença de uma potência dissipada $P$, denotemos a resistência total de $R$, então: \begin{matrix} P = R.i^2 &\Rightarrow& i = {\sqrt{\dfrac{P}{R}}} & (2) \end{matrix}Note que, existem $n$ espiras, assim, o comprimento do fio de cobre $(C)$ que percorre o solenóide é: \begin{matrix} C =2\pi\left(\dfrac{D}{2}\right) n &\therefore& C =\pi D {{\dfrac{z}{d}}} \end{matrix}Novamente, pelo enunciado, sabe-se a resistência por unidade de comprimento, logo: \begin{matrix} r = {{\dfrac{R}{C}}} &\Rightarrow& \fbox{$R = \pi D{{\dfrac{z}{d}}} r$} \end{matrix}Substituindo $R$ em $(2)$, têm-se: \begin{matrix} i = {\sqrt{\dfrac{P}{\pi D {{\dfrac{z}{d}}} r}}} \end{matrix}Por fim, substituindo o resultado da corrente acima em $(1)$, constata-se: \begin{matrix} B = \mu_0 {{\dfrac{1}{d}}} {\sqrt{\dfrac{P}{\pi D{{\dfrac{z}{d}}} r}}} &\therefore& B = \mu_0 {\sqrt{\dfrac{P}{\pi r D z d}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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