Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: “Se a circunferência de centro e raio intercepta a curva , no ponto de forma que o segmento seja perpendicular à reta tangente à curva em , então é raiz dupla da equação em que se obtém da intersecção da curva com a circunferência.”
Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em é .
Começando pela circunferência, segundo os dados do enunciado, sua equação reduzida seria:\begin{matrix} (x-h)^2 + (y-0)^2 = r^2
\end{matrix}Fazendo a intersecção, \begin{matrix} (x-h)^2 + (\sqrt{x}-0)^2 = r^2 &\Rightarrow& x^2 + x(1-2h) + h^2 - r^2 = 0
\end{matrix} O enunciado informa $a$ ser raiz dupla da equação acima, logo, aplicando as $\text{Fórmulas de Viète}$:
\begin{matrix} a+a = 2h-1 &\therefore& h = { \dfrac{2a+1}{2} }
\end{matrix}Como o segmento de reta $\overline{AC}$ é perpendicular a reta tangente, temos a relação entre seus coeficientes angulares como:\begin{matrix} m\cdot m_{\overline{AC}} = -1 &,& m_{\overline{AC}} = \dfrac{(\sqrt{a}-0)}{(a-h)}
\end{matrix}Portanto, \begin{matrix} m = {\dfrac{(h-a)}{\sqrt{a}}} &\therefore& \fbox{$m = {\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}$}
\end{matrix}
