Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: “Se a circunferência de centro $C = (h,0)$ e raio $r$ intercepta a curva $y =+\sqrt{ x} , x \gt 0$ , no ponto $A = (a, \sqrt a )$ de forma que o segmento $\overline{AC}$ seja perpendicular à reta tangente à curva em $A$, então $x = a$ é raiz dupla da equação em $x$ que se obtém da intersecção da curva com a circunferência.”

Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em $A$ é $\frac{1}{2\sqrt a}$ . 

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ITA IIIT 04/04/2022 21:22
Começando pela circunferência, segundo os dados do enunciado, sua equação reduzida seria:\begin{matrix} (x-h)^2 + (y-0)^2 = r^2 \end{matrix}Fazendo a intersecção, \begin{matrix} (x-h)^2 + (\sqrt{x}-0)^2 = r^2 &\Rightarrow& x^2 + x(1-2h) + h^2 - r^2 = 0 \end{matrix} O enunciado informa $a$ ser raiz dupla da equação acima, logo, aplicando as $\text{Fórmulas de Viète}$: \begin{matrix} a+a = 2h-1 &\therefore& h = { \dfrac{2a+1}{2} } \end{matrix}Como o segmento de reta $\overline{AC}$ é perpendicular a reta tangente, temos a relação entre seus coeficientes angulares como:\begin{matrix} m\cdot m_{\overline{AC}} = -1 &,& m_{\overline{AC}} = \dfrac{(\sqrt{a}-0)}{(a-h)} \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} m = {\dfrac{(h-a)}{\sqrt{a}}} &\therefore& \fbox{$m = {\dfrac{1}{2\sqrt{a}}}$} \end{matrix}
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