Segundo enunciado, temos:\begin{matrix} (1): &&& f(x) &=& (x-1)(x-2) &.& q(x) &+& (x+1) \\ \\ (2): &&& f(x) &=& (x-1)&.& q_1(x) &+& a \\ \\ (3): &&& f(x) &=& (x-2) &.& q_2(x) &+& b \end{matrix}Em $(1)$, ao fazer $x$ igual a $1$ e $2$, temos, respectivamente: \begin{matrix} f(1) = 2 &,& f(2)=3 \end{matrix}Ao fazer $x$ igual a $1$ em $(2)$, e $x$ igual a $2$ em $(3)$, têm-se: \begin{matrix} a = 2 &,& b = 3 \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a^2 + b^2 = 13 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}

Do enunciado, temos: $f(x) = x^2 - 2x + 3$ . Dividindo por $x-1$ : $f(x) = (x-1)^2 + 2$ $\implies$ $a = 2$ Dividindo por $x-2$ : $f(x) = x(x-2) + 3$ $\implies$ $b = 3$ $\boxed{a^2 + b^2 = 13}$ Alternativa $\mathbb{(A)}$