A divisão de um polinômio $f (x)$ por $(x − 1)(x − 2)$ tem resto $x + 1$ . Se os restos das divisões de $f (x)$ por $x – 1$ e $x – 2$ são, respectivamente, os números $a$ e $b$ , então $a^2 + b^2$ vale
Segundo enunciado, temos:\begin{matrix} (1): &&& f(x) &=& (x-1)(x-2) &.& q(x) &+& (x+1) \\ \\
(2): &&& f(x) &=& (x-1)&.& q_1(x) &+& a
\\ \\ (3): &&& f(x) &=& (x-2) &.& q_2(x) &+& b
\end{matrix}Em $(1)$, ao fazer $x$ igual a $1$ e $2$, temos, respectivamente:
\begin{matrix} f(1) = 2 &,& f(2)=3
\end{matrix}Ao fazer $x$ igual a $1$ em $(2)$, e $x$ igual a $2$ em $(3)$, têm-se:
\begin{matrix} a = 2 &,& b = 3
\end{matrix}Portanto,\begin{matrix} a^2 + b^2 = 13 \\ \\ Letra \ (A)
\end{matrix}
