Considere a região do plano cartesiano $x$ $y$ definida pela desigualdade $$x^2 + 4x + y^2 − 4y − 8 \leq 0$$ Quando esta região rodar um ângulo de $\frac{\pi} {6}$ radianos em torno da reta $x + y = 0$ , ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a
Reescrevendo a inequação do enunciado: \begin{matrix} (x^2 + 4x + \color{royalblue}{4}) + (y^2 - 4y + \color{royalblue}{4}) - 8 \le \color{royalblue}{8} &\Rightarrow& (x+2)^2 + (y-2)^2 \le 4^2
\end{matrix}Constata-se um disco de centro $C:(-2,2)$ e raio $R=4$, além disso, não é difícil perceber que seu centro está sobre a reta. Nessa perspectiva, ao realizar a rotação, teremos a área de dois fusos esféricos e quatro semi-circunferências, ou simplesmente a área de duas cunhas esféricas: \begin{matrix} A_T =2A_F + 4A_S = 2 \left[ \ 4\pi\cdot R^2 \left(\dfrac{\pi/6}{2\pi}\right) \ \right] + 4 \left[ \ \pi \cdot R^2\left(\dfrac{1}{2}\right) \ \right] \\ \\ \fbox{$A_T = {\dfrac{128\pi}{3}}$} \\ \\ Letra \ (A)
\end{matrix}
