Considere a região do plano cartesiano $x$ $y$ definida pela desigualdade $$x^2 + 4x + y^2 − 4y − 8 \leq 0$$ Quando esta região rodar um ângulo de $\frac{\pi} {6}$ radianos em torno da reta $x + y = 0$ , ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a


img
ITA IIIT 04/04/2022 20:04
$-$ Reescrevendo a inequação do enunciado: \begin{matrix} (x^2 + 4x + \color{royalblue}{4}) + (y^2 - 4y + \color{royalblue}{4}) - 8 \le \color{royalblue}{8} &\Rightarrow& (x+2)^2 + (y-2)^2 \le 4^2 \end{matrix} $-$Constata-se um disco de centro $C:(-2,2)$ e raio $R=4$, além disso, não é difícil perceber que seu centro está sobre a reta. Nessa perspectiva, ao realizar a rotação, teremos a área de dois fusos esféricos e quatro semi-circunferências, ou simplesmente a área de duas cunhas esféricas: \begin{matrix} A_T =2A_F + 4A_S = 2[ \ 4\pi.R^2(\frac{\pi/6}{2\pi}) \ ] + 4[ \ \pi.R^2(\frac{1}{2}) \ ] \\ \\ \fbox{$A_T = \large{\frac{128\pi}{3}}$} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000