Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas por $$f(x)={\left(\sqrt2\right)}^{3\ \sin x-1} ~\text e~ g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3\ \sin^2 x-1} , ~x \in \mathbb{R}$$A soma do valor mínimo de $f$ com o valor mínimo de $g$ é igual a
$-$ Começando por $f(x)$, têm-se:\begin{matrix} -1 \le \sin{x} \le 1 &\therefore& \sin{x_{mín}} = -1 &\because& 1 < \sqrt{2 } &,& x_{mín} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi &,& k \in \mathbb{Z^+}
\end{matrix}Então, \begin{matrix} f{(x_{mín})} &=& (\sqrt{2})^{-4} &=& \large{\frac{1}{4}}
\end{matrix}$-$ Agora, analisando $g(x)$: \begin{matrix} 0 \le \sin^2{x} \le 1 &\therefore& \sin{x_{mín}} =1 &\because& 0 < {\large{\frac{1}{2}}} <1&,& x_{mín} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi &,& k \in \mathbb{Z^+}
\end{matrix}Logo, \begin{matrix} g(x_{mín}) &=& ({\large{\frac{1}{2}}} )^{2} &=& \large{\frac{1}{4}}
\end{matrix}$-$ Portanto, a soma dos valores mínimos de cada função:\begin{matrix} f(x_{mín}) &+& g(x_{mín}) &=& {\large{\frac{1}{2}}}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (D)
\end{matrix}
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