Seja a equação em $C$ $$z^4 – z^2 + 1 = 0$$Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação?
$• \ \text{Solução I:}$ A priori, note que: \begin{matrix} (z^2+1)^2 = z^4 +2z^2 + 1
\end{matrix}Agora, segundo enunciado, temos: \begin{matrix}
z^4+ \color{royalblue}{ 2z^2 }+ 1 - z^2 = \color{royalblue}{ 2z^2 } &\Rightarrow& (z^2+1)^2 = 3z^2 &\Rightarrow& z^2 + 1 = \pm \ z\sqrt{3}
\end{matrix}Assim: \begin{matrix}
z^2 - z\sqrt{3} +1 = 0 &&,&& z^2 +z\sqrt{3} +1 = 0 \\ \\ z = { \dfrac{\sqrt{3} \ \pm \ i }{2}} &&&&
z = { \dfrac{-\sqrt{3} \ \pm \ i }{2}}
\end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D)
\end{matrix}
$• \ \text{Solução II: Forma Exponencial}$
\begin{matrix} z^2 &=& {\dfrac{1 \ \pm \ i\sqrt{3}}{2}} &=& e^{\pm \ i\large{\frac{\pi}{3}}} &\Rightarrow& z &=& \pm \ e^{\pm \ i\large{\frac{\pi}{6}}}
\end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Veja que, o resultado será o mesmo.
