Quantos anagramas com $4$ letras distintas podemos formar com as $10$ primeiras letras do alfabeto e que contenham $2$ das letras $a, b$ e $c$? 


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ITA IIIT 20/11/2021 22:58
$• \ \text{Resolução I:}$ O enunciado não deixa claro, mas devemos considerar que contenham exatamente duas das letras, visto isso, podemos escolher duas das três letras de forma $C_{3}^{2}$. Já para as próximas letras, no caso duas, temos $7$ opções, pois não podemos usar nenhuma das outras três letras (a, b e c), dessa forma podemos escolhe-las de forma $C_{7}^{2}$. Pelo princípio fundamental da contagem: \begin{matrix} C_{3}^{2}\cdot C_{7}^{2} \end{matrix}Perceba que isso nos faz selecionar de quantas maneiras podemos escolher as quatro letras, pouco importa a ordem, queríamos apenas escolhe-las, porém, ainda precisamos permutá-las entre si, o que pode ser feito de $4!$ modos ($P_{4}^{1,1,1,1}$), pelo princípio fundamental da contagem, temos: \begin{matrix} C_{3}^{2}\cdot C_{7}^{2}\cdot 4! = 1512 \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ Caso não tenha ficado claro, vamos tentar pensar de outro modo, primeiro escolher as duas letras entre $a,b \ e \ c$ \begin{matrix} \text{Primeira} \rightarrow 3 \ \text{opções} &,& \text{Segunda} \rightarrow 2 \ \text{opções} \end{matrix}Perceba que temos um problema, pouco importa qual será a primeira e qual será a segunda, por isso, escolher AB ou BA é a mesma coisa, assim precisamos dividir pelo número de formas que serão permutadas, no caso $2!$, temos:\begin{matrix} {{ \dfrac{3\cdot 2}{2!}}} = 3 \ \text{formas de escolher} \end{matrix}Agora, iremos selecionar as próximas duas letras, o pensamento é análogo, temos: \begin{matrix} \text{Primeira} \rightarrow 7 \ \text{opções} &,& \text{Segunda} \rightarrow 6 \ \text{opções}\end{matrix}Novamente, temos o mesmo problema, assim, precisamos dividir pelo número de formas que serão permutadas:\begin{matrix} {{\dfrac{7\cdot 6}{2!} }}= 7\cdot 3 \ \text{formas de escolher} \end{matrix} Pelo princípio fundamental da contagem, temos: $3.7.3 = 63$ formas de escolher as quatro letras distintas. Dessa forma, pense que temos $4$ letras distintas e queremos permutá-las entre si, então temos $P_{4}^{1,1,1,1} = 4!$ formas de fazer isso. Por fim, pelo princípio fundamental da contagem, têm-se:\begin{matrix} 63\cdot 4! = 1512 \end{matrix}
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