Sabendo que a equação $$x^3 – px^2 = q^m , ~p,q \gt 0, ~q \neq 1, ~m\in N$$possui três raízes reais positivas $a, b$ e $c$ , então $$\log_{q}{[abc{(a^2+b^2+c^2)}^{a+b+c}]}$$ é igual a


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ITA IIIT 15/03/2022 18:41
$-$ Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, temos: \begin{cases} a+ b + c &=& p \\ ab+ac+ bc &=& 0 \\ a.b.c &=& q^m \end{cases} $-$ Além disso, atente que: \begin{matrix} (a+b+c)^2 &=& (a^2 + b^2 + c^2) &+& 2(ab+ac+bc) \end{matrix} $-$ Dessa forma, segundo a expressão do enunciado, temos: \begin{matrix} \log_q \ [q^m(p^2)^p] \end{matrix} Sabida as propriedades básicas do logaritmo, \begin{matrix} \log_q \ [q^m(p^2)^p] &=& \log_q q^m + \log_q \ (p^{2p}) &=& m \ . \log_q q + 2p \ . \log_q (p) \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} \log_q \ [abc(a^2+b^2+c^2)^{a+b+c}] =m + 2p \ . \log_q (p) \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Existe uma incoerência entre as informações e os resultados, se $a,b,c >0$, como $ab+ac+bc = 0$ ? Em suma, é de se crer que essa inconsistência não seja passível de anulação, mas obviamente é um erro.
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Augusto Admin
00:42 16/03/2022
Boa observação!
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