Seja a área total da superfície de um cone circular reto de altura , e seja a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça em função apenas de e .

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ITA IIIT 29/05/2022, 21:00
A priori, podemos denotar o raio da base de $r$, e a geratriz do cone de $g$, assim, relacionando os três termos por Pitágoras, temos:\begin{matrix} g^2 = h^2 + r^2 &\Rightarrow& h^2 = (g+r)(g-r) & \color{royalblue}{ (1)} \end{matrix}Pela área total da superfície do cone:\begin{matrix} S = \pi r^2 + \pi rg &\Rightarrow& S= \pi r(g+r) &\therefore& (g+r ) = {{\dfrac{S}{\pi r }}} \end{matrix}Substituindo o resultado acima em $(1)$: \begin{matrix} h^2 = {{\dfrac{S}{\pi r }}}(g-r) &\therefore& h^2 ={{\dfrac{S}{\pi }}}({{\dfrac{g}{r} }}- 1) & \color{royalblue}{ (2)} \end{matrix}Continuando, vista a razão fornecida pelo enunciado: \begin{matrix} m = {{\dfrac{\pi rg}{\pi r^2}}} &\Rightarrow& m = {{\dfrac{g}{ r}}} \end{matrix}Substituindo o resultado acima em $(2)$: \begin{matrix} h^2 ={{\dfrac{S}{\pi }}}(m- 1) &\therefore& h = \sqrt{{{\dfrac{S(m-1)}{\pi}}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}
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