Sejam a e b dois números complexos não-nulos, tais que $a^2 + b^2 = 0$. Se $z$, $w \in C$ satisfazem a $$\begin{cases} \overline{z}w+z\overline{w}=6a \\ \overline{z}w -z\overline{w}=8b \end{cases}$$ determine o valor de $|a|$ de forma que $|z w| =1$.

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ITA IIIT 02/03/2022 16:19
$-$ A priori, com conhecimento que: \begin{matrix} |z.w|^2 = z.w \ . \ \overline{z.w} &,& \overline{z.w} = \overline{z}. \overline{w} \end{matrix} $-$ Agora, segundo o sistema do enunciado, podemos encontrar dois resultados notórios: \begin{matrix} \overline{z}.w = 3a + 4b &,& z.\overline{w} = 3a - 4b \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (\overline{z}.w ).(z.\overline{w} ) &=& (z.w ).(\overline{z}.\overline{w} ) &=& |zw|^2 &=& (3a + 4b ).(3a - 4b) \end{matrix} Assim, \begin{matrix} (3a)^2-(4b)^2 = 1 &\Rightarrow& 25a^2 = 1 &\Rightarrow& \fbox{$|a| = \frac{1}{5}$} \end{matrix}
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