Seja $k \gt 0$ tal que a equação $(x^2 − x) + k (y^2 − y ) = 0$ define uma elipse com distância focal igual a $2$ . Se $(p,q)$ são as coordenadas de um ponto da elipse, com $q^2 − q \neq 0$ , então $\frac{p-p^2}{q^2-q}$ é igual a


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ITA IIIT 04/04/2022 17:16
$-$ Reescrevendo a equação da elipse: \begin{matrix} (x^2 -2\frac{1}{2}x + \color{royalblue}{\frac{1}{4}}) + k (y^2 -2\frac{1}{2}y + \color{royalblue}{\frac{1}{4}}) = \color{royalblue}{\frac{1}{4}} + \color{royalblue}{\frac{k}{4}} &\Rightarrow& (x - \frac{1}{2})^2 + k(y -\frac{1}{2})^2 = \frac{1+k}{4} \end{matrix} Assim, têm-se \begin{matrix} \Large{\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{(\frac{1+k}{4})} + \frac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\frac{1+k}{4k})} } =& \large{1} \end{matrix} $-$ Constata-se que a elipse possui centro em $C:(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$ . Nesse momento, com conhecimento da $\text{equação fundamental da elipse}$, encontramos duas opções: $• \ k>1$ \begin{matrix} (\frac{1+k}{4}) = (\frac{1+k}{4k}) + (\frac{2}{2})^2 &\Rightarrow& k^2 -4k -1 = 0 &\therefore& \fbox{$k = \sqrt{5}+2$} \end{matrix}$• \ 0<k<1$ \begin{matrix} (\frac{1+k}{4k}) = (\frac{1+k}{4}) + (\frac{2}{2})^2 &\Rightarrow& k^2 +4k -1 = 0 &\therefore& \fbox{$k = \sqrt{5}-2$} \end{matrix} $-$ Veja que, existem dois resultados distintos, todavia, há apenas um gabarito. Substituindo $k$ na equação da elipse do enunciado, encontramos: \begin{matrix} \frac{p-p^2}{q^2-q} = \sqrt{5}+2 & \vee& \frac{p-p^2}{q^2-q} = \sqrt{5}-2 \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Fia-se que o ITA tenha se equivocado ao colocar $k>0$ com intenção de ser $k>1$.
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Augusto Admin
00:25 06/04/2022
De fato, faltou a informação de k≠1 por parte do vestibular. Bem observado e excelente solução.
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