Seja $k \gt 0$ tal que a equação $(x^2 − x) + k (y^2 − y ) = 0$ define uma elipse com distância focal igual a $2$ . Se $(p,q)$ são as coordenadas de um ponto da elipse, com $q^2 − q \neq 0$ , então $\frac{p-p^2}{q^2-q}$ é igual a


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ITA IIIT 04/04/2022 17:16
Reescrevendo a equação da elipse: \begin{matrix} \left(x^2 -2\dfrac{1}{2}x + \color{royalblue}{\dfrac{1}{4}}\right) + k \left(y^2 -2\dfrac{1}{2}y + \color{royalblue}{\dfrac{1}{4}}\right) = \color{royalblue}{\dfrac{1}{4}} + \color{royalblue}{\dfrac{k}{4}} &\Rightarrow& \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + k\left(y -\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1+k}{4} \end{matrix} Assim, têm-se \begin{matrix} {\dfrac{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(\dfrac{1+k}{4}\right)} + \dfrac{\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(\dfrac{1+k}{4k}\right)} } =& {1} \end{matrix}Constata-se que a elipse possui centro em $C:(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$ . Nesse momento, com conhecimento da $\text{equação fundamental da elipse}$, encontramos duas opções: $• \ k>1$ \begin{matrix} \left(\dfrac{1+k}{4}\right) = \left(\dfrac{1+k}{4k}\right) + \left(\dfrac{2}{2}\right)^2 &\Rightarrow& k^2 -4k -1 = 0 &\therefore& \fbox{$k = \sqrt{5}+2$} \end{matrix}$• \ 0<k<1$ \begin{matrix} \left(\dfrac{1+k}{4k}\right) = \left(\dfrac{1+k}{4}\right) + \left(\dfrac{2}{2}\right)^2 &\Rightarrow& k^2 +4k -1 = 0 &\therefore& \fbox{$k = \sqrt{5}-2$} \end{matrix}Veja que, existem dois resultados distintos, todavia, há apenas um gabarito. Substituindo $k$ na equação da elipse do enunciado, encontramos: \begin{matrix} \dfrac{p-p^2}{q^2-q} = \sqrt{5}+2 & \vee& \dfrac{p-p^2}{q^2-q} = \sqrt{5}-2 \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Fia-se que o ITA tenha se equivocado ao colocar $k>0$ com intenção de ser $k>1$.
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Augusto Admin
00:25 06/04/2022
De fato, faltou a informação de k≠1 por parte do vestibular. Bem observado e excelente solução.
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