Vamos fazer um pouco de conta. A ideia que surge em questões como essa é sempre isolar seno e cosseno para utilizar a relação fundamental, então vamos fazer isso. $$\cos^{2} \omega t = \dfrac{x^{2}}{x_{0}^{2}} \ (I) $$ $$y = \dfrac{y_{0}}{2}(\sqrt{3}\sin \omega t + \cos \omega t) \Rightarrow \dfrac{2y}{y_{0}} - \dfrac{x}{x_{0}} = \sqrt{3} \sin \omega t \Rightarrow \sin^{2} \omega t = \left(\dfrac{2yx_{0} - xy_{0}}{\sqrt3x_{0}y_{0}}\right)^{2} \ (II)$$ Com isso, basta utilizar a relação fundamental da trigonometria, isto é $(I) + (II) = 1$. $$\dfrac{x^{2}}{x_{0}^{2}} + \dfrac{y^{2}}{y_{0}^{2}} - \dfrac{xy}{x_{0}y_{0}} = \dfrac{3}{4} \ (III)$$ *Obs.: Eu simplesmente coloquei o resultado porque é apenas conta, tente fazer sozinho. Veja que a equação obtida em $(III)$ é semelhante a equação da elipse rotacionada que vemos em figuras de Lissajous, vamos tentar comparar os resultados. $$\dfrac{x^{2}}{x_{0}^{2}} + \dfrac{y^{2}}{y_{0}^{2}} - \dfrac{2xy \cos \omega t}{x_{0}y_{0}} = \sin^{2} \omega t.$$ Fazendo uma comparação de membro a membro, temos que $\cos \omega t = \frac{1}{2}$ e $\sin \omega t = \frac{\sqrt{3}}{2},$ logo $\alpha = 60^\circ.$ Como $\alpha$ está entre $0$ rad e $\pi$ rad, então o sentido é anti-horário.