Com conhecimento da relação fundamental da trigonometria, podemos trabalhar a expressão fornecida pelo enunciado como:\begin{matrix} [1 - \cos^2{(2\beta)}] - 2\cos{(2\beta)} = 0 &\Rightarrow& \underbrace{\cos^2{(2\beta)} + 2\cos{(2\beta)} - 1 = 0}_{\Delta \ = \ 8} \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} \cos{(2\beta)} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} &\therefore& \cos{(2\beta)} = \sqrt{2} -1 \end{matrix}Observe que a raiz negativa não satisfaz pois estamos falando de ângulos num triângulo, assim, conhecidas as fórmulas de $\text{arco duplo}$, temos:\begin{matrix} 2\cos^2{(\beta)} - 1 = \sqrt{2} -1 &\Rightarrow& \cos^2{(\beta)} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} &\Rightarrow& \cos{(\beta)} = \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2} \end{matrix}Veja que $\alpha$ e $\beta$ são ângulos complementares, consequentemente:\begin{matrix} \cos{(\beta)} = \sin{(\alpha)} &\therefore&\sin{(\alpha)} = \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2} &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}