O coeficiente angular da reta tangente à elipse $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$$no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto $P = (8, 0)$ é:


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ITA IIIT 04/04/2022 15:14
$-$ Considere o ponto $Q: (0,r)$, este será o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas. Nessa perspectiva, têm-se a equação segmentária da reta como: \begin{matrix} \frac{x}{8} + \frac{y}{r} = 1 &\Rightarrow& y = - \frac{r}{8}(8-x) \end{matrix} Substituindo $y$ na equação da elipse, \begin{matrix} \frac{x^2}{4^2} + \frac{r^2(8-x)^2}{3^2.4^3} = 1 &\Rightarrow& x^2(4.3^2+r^2)-4^2r^2+4^3(r^2-3^2) = 0 \end{matrix} Como estamos falando de um ponto de tangência, $\Delta = 0$, assim, \begin{matrix} 4^4r^4 - 4^4.(4.3^2+r^2).(r^2-3^2) = 0 &\Rightarrow& r^2 = 4.3 &\therefore& \fbox{$r = 2\sqrt{3}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $r>0$ pois o enunciado informa ser no primeiro quadrante. $-$ Por fim, substituindo o resultado acima na equação da reta, não é difícil encontrar o coeficiente angular $(m)$ como: \begin{matrix} \fbox{$m= - \large{\frac{\sqrt{3}}{4}}$} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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