Se $a\in\mathbb{R}$ é tal que $3y^2 – y + a = 0$ tem raiz dupla, então a solução da equação $3^{2x+1} – 3^x + a = 0$


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Igor Ribeiro 01/12/2021 23:12
Se a equação $3y^2 – y + a = 0$ tem raiz dupla, isso significa que o $\sqrt{\Delta} = 0$. Logo, temos $\sqrt{\Delta}=\sqrt {1 - 4\cdot 3\cdot a} = 0$, portanto $1 - 12a = 0$, enfim $a=\frac{1}{12}$. Sabendo disso, perceba que a equação $3^{2x+1}-3x + a = 0$ possui a mesma lei de formação da equação $3y^2 – y + a = 0$, isso significa que o $\sqrt{\Delta}$ será igual a $0$ também (ou seja, independerá de $a$, no final). Dessa forma, podemos calcular a solução de $3^{2x+1}-3x + \frac{1}{12} = 0$:$$3^x = \frac{-(-1) \pm \sqrt {0}}{2\cdot3}=\frac{1}{6}$$$$x = \log_{3} \frac{1}{6} = \boxed{-\log_{3}6}$$
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