O conjunto de todos os valores de m para os quais a função $$f(x)=\frac{x^2+(2m+3)x+(m^2+3)}{\sqrt{x^2+(2m+1)x+(m^2+2)}}$$ está definida e é não negativa para todo $x$ real é:


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ITA IIIT 31/12/2021 21:53
$-$ Segundo enunciado, temos: $•$ $x^2 + (2m + 3).x + (m^2 + 3)$ \begin{matrix} \underbrace{ x^2 + (2m + 3).x + (m^2 + 3) > 0 } \\ \\ \underbrace{\Delta = (2m +3)^2 - 4.1.(m^2 + 3) } \\ \\ \Delta = 12m + 3 \le 0 \\ \\ \fbox{$m \le \frac{1}{4}$} \end{matrix} $•$ $\sqrt{x^2 + (2m + 1).x + (m^2 + 2)}$ \begin{matrix} \underbrace{\sqrt{x^2 + (2m + 1).x + (m^2 + 2)} > 0 } \\ \\ \underbrace{\Delta = (2m +1)^2 - 4.1.(m^2 + 2) } \\ \\ \Delta = 4m - 7 < 0 \\ \\ \fbox{$m < \frac{7}{4}$} \end{matrix} Dessa forma, a partir dos resultados, podemos definir os valores de $m$ em: $\color{orangered}{\ ] -\infty \ , \ \frac{1}{4} \ [}$ \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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