Sabendo que é de $1024$ a soma dos coeficientes do polinômio em $x$ e $y$, obtido pelo desenvolvimento do binômio $(x + y)^m$, temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados $2$ a $2$, é: 


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ITA IIIT 19/11/2021 23:53
Segundo enunciado, sobre os coeficientes do polinômio: \begin{matrix} P(x,y) \ \Rightarrow \ P(1,1) = 1024 = 2^{10} \end{matrix}Note que, a soma dos coeficientes de um polinômio é dado quando $P(x)$ tem $x=1$. Uma justificativa pragmática:\begin{matrix} P(x) =a_n.x^n + a_{n-1}.x^{n-1}+...+a_1.x^1 + a_0 \\ \\ P(1) = a_n + a_{n-1}+ ... + a_1 + a_0 \end{matrix}• Segundo enunciado, sobre o binômio: \begin{matrix} P(x,y) = (x + y)^m\ \Rightarrow \ P(1,1) = (1+1)^m = 2^{10} \\ \\ m = 10 \end{matrix}• O número de arranjos desejados: \begin{matrix} A_{10,2} = \dfrac{10!}{(10-2)!}=10\cdot 9 = 90 \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Um arranjo sem repetição tomado dois a dois nada mais é que uma permutação simples dos $m$ elementos em duas posições (sem repetição), de modo que temos:\begin{matrix} \text{Primeiro Lugar} &\rightarrow& \text{m opções} \\ \\ \text{Segundo Lugar} &\rightarrow& \text{m-1 opções} \end{matrix}Pelo princípio fundamental da contagem, segue: $10\cdot (10-1) = 90$ Vale ressaltar que, o arranjo assim como as permutações não são nada mais que resultados do princípio fundamental da contagem.
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