A priori, analisando a desigualdade, temos:\begin{matrix} -\dfrac{1}{2}<f(x) < \dfrac{1}{2} \end{matrix}Repare que $x$ pertence ao intervalo $]0,1[$, consequentemente, nota-se que $\dfrac{x}{2} \in \ ]0,1[$, assim como $\dfrac{x+1}{2} \in \ ]0,1[$. Nesses casos, todos respeitam o domínio da função, tal que:\begin{matrix} -\dfrac{1}{2}<f\left(\dfrac{x}{2}\right) < \dfrac{1}{2} &\wedge& -\dfrac{1}{2}<f\left(\dfrac{x+1}{2}\right) < \dfrac{1}{2} \end{matrix}Dividindo ambas as desigualdades por $1/4$ e somando, constatamos:\begin{matrix} -\dfrac{1}{2^2}< \underbrace{\dfrac{1}{4} \left[ f\left(\dfrac{x}{2}\right) + f\left(\dfrac{x+1}{2}\right) \right]}_{f(x)}< \dfrac{1}{2^2} \end{matrix}Veja que encontramos uma nova desigualdade para $f(x)$, assim, num raciocínio análogo ao anterior, podemos escrever:\begin{matrix} -\dfrac{1}{2^2}<f\left(\dfrac{x}{2}\right) < \dfrac{1}{2^2} &\wedge& -\dfrac{1}{2^2}<f\left(\dfrac{x+1}{2}\right) < \dfrac{1}{2^2} \end{matrix}Novamente, dividindo ambas as desigualdades por $1/4$ e somando, constatamos:\begin{matrix} -\dfrac{1}{2^3}< \underbrace{\dfrac{1}{4} \left[ f\left(\dfrac{x}{2}\right) + f\left(\dfrac{x+1}{2}\right) \right]}_{f(x)}< \dfrac{1}{2^3} \end{matrix}Aparentemente, temos um processo indutivo, este que tende ao resultado abaixo: \begin{matrix} -\dfrac{1}{2^n}<f(x) < \dfrac{1}{2^n} &,& n =1,2,3,... \end{matrix}Não é difícil chegar no resultado acima, basta pensar no $\text{princípio de indução matemática}$, supondo que seja válido para um número $k$ qualquer, se $k+1$ for válido, verificamos o resultado - repare que este processo é análogo ao que fizemos. Com isso, resta avaliar as alternativas, em que: $• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Se $n$ for igual a $1$, temos que: $|f(x)| <0$, o que não é possível pela existência do módulo. $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ A igualdade não é válida. $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Feito o processo de indução e visto os raciocínios anteriores, facilmente pode-se fazer: \begin{matrix} -\dfrac{1}{2^n}<f\left(\dfrac{x}{2}\right) < \dfrac{1}{2^n} &\wedge& -\dfrac{1}{2^n}<f\left(\dfrac{x+1}{2}\right) < \dfrac{1}{2^n} \end{matrix}Consequentemente,\begin{matrix} -\dfrac{1}{2^{n+1}}<f(x) < \dfrac{1}{2^{n+1}} \end{matrix}$• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ É o contrário daquilo que encontramos. $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ É exatamente o que foi constatado.\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}