Com conhecimento que $AA^{-1} = I$, vejamos:\begin{matrix} \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&4&9&16\\ 1&8&27&64\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{11}&?&?&?\\ b_{21}&?&?&?\\ b_{31}&?&?&?\\ b_{41}&?&?&?\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \end{matrix}Realizando a multiplicação da primeira linha de $A$ pela primeira coluna de $A^{-1}$, segue:\begin{matrix} b_{11} + b_{21} + b_{31} + b_{41} = 1 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix} $\color{#ff1729}{\text{Obs:}}$ Supondo que quiséssemos encontrar a soma de outros elementos, ou melhor, um elemento em específico, como faríamos? Uma forma direta seria prosseguir com o raciocínio anterior, no entanto, há um resultado útil para problemas desse tipo:\begin{matrix} (a_{ij})^{-1} = b_{ij}= {{\dfrac{cof(A_{ji})}{det{(A)}}}} \end{matrix}Com a ideia acima em mente, tentemos resolver o exercício. Começando pelo determinante de $A$, aplicando $\text{Teorema de Chió}$, têm-se: \begin{matrix} det(A) &=& \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 8 & 15 \\ 7 & 26 & 63 \end{vmatrix} &\overset{\text{cf. Chió}}{\equiv}& \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 12 & 54 \end{vmatrix} &=& 12 \end{matrix}Conhecido o determinante de $A$, basta fazer o processo exaustivo da aplicação de fórmula mencionada anteriormente, assim: \begin{matrix} b_{11} &=& {{\dfrac{ (-1)^{2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 &16 \\ 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} }{12} }} &=& 4 \end{matrix}\begin{matrix} b_{21} &=& {{\dfrac{ (-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 9 &16 \\ 1 & 27 & 64 \end{vmatrix} }{12} }} &=& -6 \end{matrix}\begin{matrix} b_{31} &=& {{\dfrac{ (-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 &2 & 4 \\ 1 & 4 &16 \\ 1 & 8 & 64 \end{vmatrix} }{12} }} &=& 4 \end{matrix}\begin{matrix} b_{41} &=& {{\dfrac{ (-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 &2 & 3 \\ 1 & 4 &9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} }{12} }} &=& -1 \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} b_{11} + b_{21} + b_{31} + b_{41} = 1 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}

Sabendo que o produto de uma matriz por sua inversa é igual à matriz identidade, basta efetuar o processo de multiplicação para o $a_{11}$ da matriz identidade. Isto é, o produto da primeira linha da matriz original pela primeira coluna da matriz inversa. Como a primeira linha é toda “1”, resulta que a soma da primeira coluna será 1, sem importar quais são os itens específicos da matriz inversa. Isso torna uma questão extremamente trabalhosa em algo muito mais simples.