A princípio, deve-se conhecer as propriedades do logaritmo, no caso, necessariamente as abaixo: \begin{matrix} \ln{ab} = \ln{a} + \ln{b} &,& \ln{a^c} = c \cdot \ln{a} \end{matrix}Nesse contexto, vamos começar analisando $a_n$:\begin{matrix} a_n =\ln{2} + \ln{\sqrt[]{4}} + \ln{\sqrt[3]{6}} + \ln{\sqrt[4]{8}} + \dots + + \ln{\sqrt[n]{2n}} \\ \\ \underline{a_n = \dfrac{\ln{2}}{1} + \dfrac{\ln{4}}{2} + \dfrac{\ln{6}}{3} + \dfrac{\ln{8}}{4} + \dots + \dfrac{\ln{2n}}{n}} \end{matrix}Agora, pensando em $b_n$:\begin{matrix} b_n =\ln{\sqrt{2}} + \ln{\sqrt[3]{3}} + \ln{\sqrt[4]{4}} + \ln{\sqrt[5]{5}} + \dots + + \ln{\sqrt[2n]{2n}} \\ \\ \underline{b_n = \dfrac{\ln{2}}{2} + \dfrac{\ln{3}}{3} + \dfrac{\ln{4}}{4} + \dfrac{\ln{5}}{5} + \dots + \dfrac{\ln{2n}}{2n}} \end{matrix}Creio que já ficou razoavelmente visível a expressão solicitada entre os dois resultados que encontramos, observe o que acontece quando fazemos $a_n - b_n$: \begin{matrix} a_n=& \dfrac{\ln{2}}{1} &+& 0 &+& \dfrac{\ln{4}}{2} &+& 0 &+& \dfrac{\ln{6}}{3} &+& \dots &+& \dfrac{\ln{2n}}{n} \\ \\ b_n=& \dfrac{\ln{2}}{2} &+& \dfrac{\ln{3}}{3} &+& \dfrac{\ln{4}}{4} &+& \dfrac{\ln{5}}{5} &+& \dfrac{\ln{6}}{6} &+& \dots &+& \dfrac{\ln{2n}}{2n} \\ \hline \\ a_n - b_n = & \dfrac{\ln{2}}{2} &-& \dfrac{\ln{3}}{3} &+& \dfrac{\ln{4}}{4} &-& \dfrac{\ln{5}}{5} &+& \dfrac{\ln{6}}{6} &-& \dots &+& \dfrac{\ln{2n}}{2n} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}