Sejam $X$, $Y$ e $Z$ subconjuntos próprios de $R$, não-vazios. Com respeito às afirmações:

  • I. $x\cap \{[Y \cap (X\cup Y)^c]\cup [X \cup Y^c)^c\}$

  • II. Se $Z\subset X$ então $(Z\cup Y)\cup(X\cup (Z^c \cap Y)\}=X\cup Y$

  • III. Se $(X\cup Y)^c \subset Z$ então $Z^c\subset X$

temos que:


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ITA IIIT 19/12/2021 21:34
De antemão, vale ressaltar o início do enunciado, ele deixa claro tratar de subconjuntos próprios, mas além disso, ele evidencia a exclusão do vazio. Esse fato é necessário, pois, até o presente momento, não existe uma definição acerca do assunto, o que foge do escopo da questão a discussão, mas é valida a citação. Além disso, o subconjunto próprio em questão diz: \begin{matrix} X,Y,Z \ne R \\ X,Y,Z \ne \phi \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ \begin{matrix} { \begin{matrix} {[Y \cap (X \cup Y)^c] \cup [(X^c \cap Y^c)^c]} \\ \\ { \{ Y \cap [R - (X \cup Y)] \} \cup [(X \cup Y)]} \\ \\ {(\phi) \cup [(X \cup Y)]} \\ \\ (X \cup Y) \\ \\ \fbox{$X \cap (X \cup Y) = X$} \end{matrix} } \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ \begin{matrix} { \begin{matrix} {(Z \cup Y) \cup [X \cup (Z^c \cap Y)]} \\ \\ {(Z \cup Y) \cup [(X \cap Z^c) \cup (X \cap Y)]} \\ \\ {(Z \cup Y) \cup [(X-Z) \cup (X \cap Y)]} \\ \\ {(Z \cup Y) \cup (X-Z) \cup (X \cap Y)} \\ \\ \fbox{$ X \cup Y$} \end{matrix} } \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Generalizando, dentro do possível: \begin{matrix} Z = R - \{ z \} \\ X = R - \{ x \} \\ Y = R - \{ y \} \\ \end{matrix}Assim, podemos escrever: \begin{matrix} { \begin{matrix} (X∪Y)^c ⊂ Z \\ \\ [(R - \{ x \}) \cup (R - \{ y \})]^c ⊂ Z \\ \\ R^c ⊂ Z \\ \\ \phi ⊂ Z \end{matrix} } \end{matrix} Por outro lado, \begin{matrix} { \begin{matrix} Z^c ⊂ X \\ \\ (R - \{ z \})^c ⊂ R - \{ x \} \\ \\ \fbox{$ \{ z \} ⊂ R - \{ x \}$} \end{matrix} } \end{matrix}Note que, nós não definimos ${z}$ e ${x}$, nada impede de ambos serem iguais, o que ficaria: \begin{matrix} { \begin{matrix} \{ z \} ⊂ R - \{ z \} \end{matrix} } \end{matrix} Um absurdo. \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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