A área de um triângulo é de $4$ unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos $A:\ (2, 1)$ e $B:\ (3, -2)$. Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:


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ITA IIIT 28/10/2021 20:13
• Segundo enunciado: \begin{matrix} [ABC] = 4 \ u.a \ \text{(unidades de área)} \end{matrix} • Do algoritmo de área $(\frac{1}{2}|\Delta| = \text{Aréa polígono fechado)}$ \begin{matrix} |\Delta|= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ x & y \\ 2 & 1 \\ \end{vmatrix} = |-7+3x+y \ | \end{matrix} • Se $|-7+3x+y \ |> 0$ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}\cdot (-7+3x+y) = 4 &\Rightarrow& 3x + y = 15 &\Rightarrow& \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{15} = 1 & \color{gray}{(Segmentária \ da \ Reta)} \end{matrix}Então, se $y = 0$ temos $x = 5$, logo: \begin{matrix} C: (5,0) \ \color{royalblue}{(1)} \end{matrix}• Se $|-7+3x+y \ |< 0$ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}\cdot (+7-3x-y) = 4 &\Rightarrow& 3x + y = -1&\Rightarrow& \dfrac{x}{-3^{-1}}+\dfrac{y}{-1} = 1 & \color{gray}{(Segmentária \ da \ Reta)} \end{matrix} Então, se $y = 0$ temos $x = -\dfrac{1}{3}$, logo: \begin{matrix} C: \left(-\dfrac{1}{3},0 \right ) \ \color{royalblue}{(2)} \end{matrix} Por fim, com os resultados $(1)$ e $(2)$, temos que a resposta é: \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix} $\color{#3368b8}{\text{Adendo:}}$ Se você não conhece o Algoritmo de Área, recomendo procurar sobre, mas deixarei abaixo uma pequena exposição sobre ele. • Algoritmo de Área: Dentro da Geometria Analítica, todo polígono fechado pode ser calculado a partir dos seus vértices, por essa expressão abaixo: \begin{matrix} \dfrac{1}{2}|\Delta| = \ \text{Área polígono fechado} \end{matrix}Em que: \begin{matrix} \Delta = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_3 \\ \vdots & \vdots\\ x_n & y_n \\ x_1 & y_2 \\ \end{vmatrix} = (x_1.y_3 + \dots + x_n.y_2)-(y_1.x_2 + \dots + y_n.x_1) \end{matrix}Veja que o algoritmo funciona como a aplicação de Sarrus num Determinante, na direção da diagonal principal é positivo, já na secundária é negativo. Além disso, atente ao fato que em polígonos com mais de três vértices, é $\text{necessário}$ aplicar um sentido ao vértices, seja horário ou anti-horário, ex: Pense num quadrado, com vértices em (0,0), (0,1), (1,1), (0,1). Posso partir de qualquer vértice, desde que siga um sentido, digamos que eu vá partir de (0,0) no sentido horário, então nosso algoritmo deverá ficar: \begin{matrix} \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0\\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{matrix}
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