Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$, nos quais o $1$ e o $2$ nunca ocupam posições adjacentes, mas o $3$ e o $4$ sempre ocupam posições adjacentes?


img
ITA IIIT 19/11/2021 20:58
Antes de prosseguirmos, a ideia de resolução adotada será: \begin{matrix} (\text{Todos os números com 3 e 4 adjacentes}) &-& (\text{Todos os números com 3 e 4 adjacentes, também de 1 e 2 adjacentes}) \end{matrix} Comecemos pelo mais simples, $3 \ e \ 4$ sempre ocupam posições adjacentes, isso significa que um sempre está ao lado do outro: \begin{matrix} 34 \ ou \ 43 & \Rightarrow 2 & \ possibilidades \end{matrix} Façamos essa união ser um único algarismo, agora temos 5 algarismos distintos. $\color{royalblue}{• \ \text{Quantos números temos com 3 e 4 adjacentes?}}$ Permutando os 5 algarismos distintos, temos $5!$. Pelo princípio fundamental da contagem, segue que: \begin{matrix} 2.5! = 240 \ números \end{matrix} $\color{royalblue}{• \ \text{Quantos números temos com 3 e 4 adjacentes, também de 1 e 2 adjacentes?}}$ Comecemos novamente pelo mais simples, $2 \ e \ 1$ sempre ocupam posições adjacentes, isso significa que um sempre está ao lado do outro, logo: \begin{matrix} 21 \ ou \ 12 &\Rightarrow& 2 \ possibilidades \end{matrix} Façamos essa união ser um único algarismo, agora temos 4 algarismos distintos, não se esqueça que 3 e 4 já formam um único algarismo também. Permutando os 4 algarismos distintos, temos $4!$. Pelo princípio fundamental da contagem, segue que: \begin{matrix} 2.2.4! = 96\ números \end{matrix} Substituindo nossos resultados na ideia do início \begin{matrix} 240 -96 = 144 \ números \\ \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX