$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ Analisando a equação da circunferência $(C)$ \begin{matrix} C :(x^2 -2x + \color{royalblue}{1}) + (y^2 - y + \color{royalblue}{\large{\frac{1}{4}}} ) = \color{royalblue}{1} + \color{royalblue}{\large{\frac{1}{4}}} \\ \\ C : (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \\ \Downarrow \\ C:(1 \ , \ \frac{1}{2}) \ \ \ , \ \ \ R = \frac{\sqrt{5}}{2} \end{matrix} $-$ Não é difícil perceber que a origem pertence à circunferência, e além disso, com conhecimento que as retas são paralelas e tangentes, podemos afirmar veementemente que a distâncias das retas à origem sempre será igual ao diâmetro da circunferência. Portanto: \begin{matrix} \fbox{$d_1 + d_2 = \sqrt{5}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ A menor distância entre retas paralelas sempre será uma perpendicular, portanto, como as retas são tangentes à circunferência, a menor distância entre estas retas sempre será igual ao diâmetro. Dessa forma, sendo o ponto interno à circunferência, e sabido que a menor distância entre um ponto à uma reta é uma perpendicular, a soma dos segmentos formados sempre será a menor distância entre estas restas, isto é, igual ao diâmetro. $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Se as retas são paralelas, isso quer dizer que seus coeficientes angulares são idênticos $(m_{r_1} = m_{r_2} = 3 )$. Com isso, podemos generalizar as equações das retas como: \begin{matrix} y = 3x + c \end{matrix} $-$ Substituindo $x$ ou $y$ na equação da circunferência, iremos achar uma equação do segundo grau, e devemos forçar uma intersecção única, isto é, anular seu delta $(\Delta)$, pois queremos pontos de tangência. Assim, substituindo $y$: \begin{matrix} x^2 + (3x +c)^2 - 2.(3x +c) - y = 0 \\ \Downarrow \\ 10x^2 + x. (6c -5) + (c^2 -c) = 0 \\ \color{gray}{\Delta = 0} \\ (6c -5)^2 -4.10.(c^2 - c) = 0 \\ \Downarrow \\ 4c^2 - 20c + 25 = 0 \\ \Downarrow \\ c = \large{\frac{5.(-1 \pm \sqrt{2})}{2}} \end{matrix} $-$ Agora, podemos definir nossas duas retas \begin{matrix} d_1: y = 3x + \large{\frac{5.(-1 + \sqrt{2})}{2}} &, & d_2 : y = 3x - \large{\frac{5.(1 + \sqrt{2})}{2}} \end{matrix} $-$ Por fim, calculando a distância das retas à origem \begin{matrix} d = \Large{ \frac{|a.x +b.y +c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}} \end{matrix} • $d_1$ \begin{matrix} d_1= \large{ \frac{|3.0 \ + \ (-1).0 \ + \ \frac{5.(-1 + \sqrt{2})}{2} |}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$ d_1 = \large{\frac{5.(-1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}}}$}\end{matrix} • $d_2$ \begin{matrix} d_2= \large{ \frac{|3.0 \ + \ (-1).0 \ + \ \frac{5.(-1 - \sqrt{2})}{2} |}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$d_2 =\large{ \frac{5.(1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}}}$}\end{matrix} • $d_1 + d_2$ \begin{matrix} d_1 + d_2 = \frac{5.(-1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}} + \frac{5.(1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}} &\Rightarrow& \fbox{$d_1 + d_2 = \sqrt{5}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}