Duas retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas à reta $3x - y = 37$ e tangentes à circunferência $x^2 + y^2 - 2x - y = 0$. Se $d_1$ é a distância de $r_1$ até a origem e $d_2$ a distância de $r_2$ até a origem, então $d_1 + d_2$ é igual a:


img
ITA IIIT 29/01/2022 01:19
$• \ \text{Resolução I:}$ Analisando a equação da circunferência $(C)$ \begin{matrix} C :(x^2 -2x + \color{royalblue}{1}) + \left(y^2 - y + \color{royalblue}{{\dfrac{1}{4}}} \right) = \color{royalblue}{1} + \color{royalblue}{{\dfrac{1}{4}}} \\ \\ C : (x - 1)^2 + \left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \\ \\ C: \left(1 \ , \ \dfrac{1}{2} \right) \ \ \ , \ \ \ R = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \end{matrix}Não é difícil perceber que a origem pertence à circunferência, e além disso, com conhecimento que as retas são paralelas e tangentes, podemos afirmar veementemente que a distâncias das retas à origem sempre será igual ao diâmetro da circunferência. Portanto:\begin{matrix} \fbox{$d_1 + d_2 = \sqrt{5}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ A menor distância entre retas paralelas sempre será uma perpendicular, portanto, como as retas são tangentes à circunferência, a menor distância entre estas retas sempre será igual ao diâmetro. Dessa forma, sendo o ponto interno à circunferência, e sabido que a menor distância entre um ponto à uma reta é uma perpendicular, a soma dos segmentos formados sempre será a menor distância entre estas restas, isto é, igual ao diâmetro. $• \ \text{Resolução II:}$ Se as retas são paralelas, isso quer dizer que seus coeficientes angulares são idênticos $(m_{r_1} = m_{r_2} = 3 )$. Com isso, podemos generalizar as equações das retas como:\begin{matrix} y = 3x + c \end{matrix}Substituindo $x$ ou $y$ na equação da circunferência, iremos achar uma equação do segundo grau, e devemos forçar uma intersecção única, isto é, anular seu delta $(\Delta)$, pois queremos pontos de tangência. Assim, substituindo $y$: \begin{matrix} x^2 + (3x +c)^2 - 2.(3x +c) - y = 0 \\ \Downarrow \\ 10x^2 + x. (6c -5) + (c^2 -c) = 0 \\ \color{gray}{\Delta = 0} \\ (6c -5)^2 -4.10.(c^2 - c) = 0 \\ \Downarrow \\ 4c^2 - 20c + 25 = 0 \\ \Downarrow \\ c = {\dfrac{5\cdot (-1 \pm \sqrt{2})}{2}} \end{matrix}Agora, podemos definir nossas duas retas, \begin{matrix} d_1: y = 3x + {\dfrac{5\cdot (-1 + \sqrt{2})}{2}} &, & d_2 : y = 3x - {\dfrac{5\cdot (1 + \sqrt{2})}{2}} \end{matrix}Por fim, calculando a distância das retas à origem, \begin{matrix} d = { \dfrac{|a\cdot x +b\cdot y +c |}{\sqrt{a^2 + b^2}}} \end{matrix}• $d_1$ \begin{matrix} d_1= { \dfrac{\left|3\cdot 0 \ + \ (-1)\cdot 0 \ + \ \dfrac{5\cdot (-1 + \sqrt{2})}{2} \right|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$ d_1 = {\dfrac{5\cdot (-1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}}}$}\end{matrix} • $d_2$\begin{matrix} d_2= { \dfrac{ \left|3\cdot 0 \ + \ (-1)\cdot 0 \ + \ \dfrac{5\cdot (-1 - \sqrt{2})}{2} \right|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}} &\Rightarrow& \fbox{$d_2 ={ \dfrac{5\cdot (1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}}}$}\end{matrix} • $d_1 + d_2$\begin{matrix} d_1 + d_2 = \dfrac{5\cdot (-1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}} + \dfrac{5\cdot (1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{10}} &\Rightarrow& \fbox{$d_1 + d_2 = \sqrt{5}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX