Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a $5\ cm$ do eixo e separa na base um arco de $120^\circ$. Sendo de $30\sqrt3 \ cm^2$ a área da secção plana regular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em $cm^3$:



img
ITA IIIT 28/01/2022 23:30
$-$ A maior dificuldade da questão é a visualização, pense que a figura está sendo vista de cima, assim, vemos um círculo e uma corda (nosso plano de secção), esta por sua vez gera um segmento circular, o qual nos interessa. Dessa forma, veja que temos um triângulo isósceles ao ligar os raios às extremidades da "corda", sabemos que, segundo o enunciado, sua altura vale $5cm$, o que nos permite encontrar o raio $\text(R)$, a área $\text(A)$, e também a base do triângulo $\text(2x)$. Note o triângulo retângulo formado pela altura do triângulo isósceles, dele temos: \begin{matrix} \sin{30º} = \large{\frac{5}{R}} &\Rightarrow& R = 10 \ cm \\ \\ \cos{30º} = \large{\frac{x}{R}} &\Rightarrow& x= 5\sqrt{3}\ cm \\ \\ A= \large{\frac{5.(2x)}{2}} &\Rightarrow& A = 25\sqrt{3} \ cm^2 \end{matrix} $-$ Agora, voltemos às três dimensões, veja que temos dois sólidos, e iremos fazer uma diferença de volumes, no caso, o volume do nosso "setor circular", menos o volume de um prisma de base triangular. Com isso, repare que o enunciado nos dá a área da secção, assim, podemos encontrar a altura $\text(h)$ do cilindro, e consequentemente, do prisma também. \begin{matrix} h.(2x) = 30\sqrt{3} &\Rightarrow& h = 3 \ cm \end{matrix} $-$ Por fim, fazendo a diferença de volumes $(V_S - V_P)$: \begin{matrix} V_S - V_P = (\frac{120º}{360º}) \ . \ \pi.R^2 \ . \ h \ - \ A.h \\ \Downarrow \\ \fbox{$V_S - V_P = 100\pi - 75\sqrt{3}$} \\ \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000