Pelo ponto $C: (4, -4)$ são traçadas duas retas que tangenciam a parábola $y = (x-4)^2 + 2$ nos pontos $A$ e $B$. A distância do ponto $C$ à reta determinada por $A$ e $B$ é:


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ITA IIIT 04/04/2022 00:54
A partir do ponto $C$ podemos encontrar a equação das duas retas que tangenciam a parábola, vejamos o coeficiente angular $(m)$ dessa reta: \begin{matrix} m = {\dfrac{(y+4)}{(x-4)}} &\Rightarrow& y =mx - 4(m+1) \end{matrix} Substituindo $y$ na equação da parábola, deve-se ter uma equação de segundo grau em $x$, a qual usaremos para encontrar os pontos de tangência: \begin{matrix} mx - 4(m+1) = (x-4)^2+2 &\Rightarrow& x^2 - x(8+m) +2(2m+11) = 0 \end{matrix}Como são tangentes, $\Delta = 0$, logo: \begin{matrix}8(2m+11) = (8+m)^2 &\Rightarrow& m^2 = 24 &\therefore& m= \pm 2\sqrt{6} \end{matrix} Voltando na equação de segundo grau em $x$ : \begin{matrix} x = {\dfrac{(8+m)\pm \sqrt{0}}{2} }&\Rightarrow& \fbox{$x = 4 \pm \sqrt{6}$} &\Rightarrow& \fbox{$y = 8$} \end{matrix}Assim, podemos escrever os pontos como $A: (4+\sqrt{6} \ ,\ 8)$ e $B: (4-\sqrt{6} \ ,\ 8)$. Atente que, os pontos estão na mesma ordenada, sendo sua reta obrigatoriamente igual a $\fbox{$y=8$}$, com isso, temos a distância $d$ entre a reta e o ponto $C$:\begin{matrix} d = {\dfrac{|0.4 + 1.(-4) - 8|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}} &\therefore& \fbox{$d = 8 $} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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