Seja $a \in \mathbb{R}$ com $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$ $$\left[\sin\left(\frac{3 \pi}{4}+a\right)+\sin\left(\frac{3 \pi}{4}-a\right)\right] \sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$$ é idêntica a:


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ITA IIIT 29/04/2022 16:07
Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Werner}$, têm-se: \begin{matrix} \left[ 2 \cdot \sin{{{ \left(\dfrac{\dfrac{3\pi}{4} +a + \dfrac{3\pi}{4} - a }{2} \right) }}}\cdot \cos{{{ \left( \dfrac{\dfrac{3\pi}{4} +a - \dfrac{3\pi}{4} + a }{2} \right) }}} \ \right] \cdot \cos{a} &=& \left[ \ 2 \ . \ \sin{{\large{\frac{3\pi}{4}}}} \ . \ \cos{a} \ \right] \ . \ \cos{a} &=& \sqrt{2} \ . \ \cos^2{a} \end{matrix}Atente que, todas as alternativas estão em função da cotangente, logo, pela $\text{Relação fundamental da Trigonometria}$, temos: \begin{matrix} \sin^2{a} + \cos^2{a} = 1 &\Rightarrow& \cos^2{a} = {{ \dfrac{\cos^2{a}}{\sin^2{a} + \cos^2{a}}}} \ \color{royalblue}{{\cdot \dfrac{\sin^2{a}}{\sin^2{a}}}} &=& {\dfrac{\cot^2{a}}{1+\cot^2{a}}} \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} \left[ \ \sin{(\frac{3\pi}{4} + a)} \ + \ \sin{(\frac{3\pi}{4} - a)} \ \right] \sin{(\frac{\pi}{2} + a)} &=& {\dfrac{\sqrt{2}\cot^2{a}}{1+\cot^2{a}}} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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