A equação polinomial $p(x) = 0$ de coeficientes reais e grau $6$ é recíproca de $2ª$ espécie e admite $i$ como raiz. Se $p(2) = - \dfrac{105}{8}$ e $p(-2) = \dfrac{255}{8}$, então a soma de todas as raízes de $p(x)$ é igual a:


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ITA IIIT 01/03/2022 22:09
A priori, deve-se saber que uma equação recíproca de segunda espécie possui coeficientes simetricamente opostos, isto é, podemos representar o polinômio como: \begin{matrix} P(x) &= & ax^6 &+& bx^5 &+& cx^4 &+& dx^3 &-& cx^2 &-& bx &-& a \end{matrix}Além disso, sabido que o conjugado da raiz complexa também é raiz, temos:\begin{matrix} P(i) &= & -a &+& (-bi) &+& c &+& (-di) &+& c &+& bi &-& a &=& 0 \\ \\ P(-i) &= & -a &+& bi &+& c &+& di &+& c &+& (-bi) &-& a &=& 0 \end{matrix}Assim, descobrimos: \begin{matrix} a=c &e& d=0 \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Equações recíprocas de segunda ordem possuem raiz igual $1$, você poderia descobrir $d=0$ a partir disso! Com conhecimento dos nossos resultados acima, e com as informações do enunciado, podemos escrever:\begin{matrix} P(2) &= & a(2^6 + 2^4 - 2^2 - 1) &+& b(2^5 - 2) &=& -{\dfrac{105}{8}} \\ \\ P(-2) &= & a(2^6 + 2^4 - 2^2 - 1) &-& b(2^5 - 2) &=& {\dfrac{255}{8}} \end{matrix}Agora, não temos nada mais que um sistema de ordem dois, assim, podemos encontrar: \begin{matrix} \fbox{$a = {\dfrac{1}{8}}$} &,& \fbox{$b = -{\dfrac{3}{4}}$} \end{matrix}Por fim, com conhecimentos das $\text{Fórmulas de Viète}$, encontramos a soma $(S)$ das raízes como: \begin{matrix} S = -{\dfrac{b}{a}} &\Rightarrow& \fbox{$S = 6$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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