Analisando a expressão:\begin{matrix} 4 \cdot \dfrac{\sin^4{x}}{\cos^4{x}} = \dfrac{1 + 4\cos^4{x}}{\cos^4{x}} &\Rightarrow& 4 (\sin^4{x} - \cos^4{x}) = 1 &\Rightarrow& \underbrace{(\sin^2{x} + \cos^2{x})}_{1} \underbrace{(\sin^2{x} - \cos^2{x})}_{-\cos{2x}}= \dfrac{1}{4} \end{matrix}Desse modo, temos:\begin{matrix} \cos{2x} = -\dfrac{1}{4} &\overset{\text{cf. T.F. Trigonometria}}{\Rightarrow}& \sin{2x} = \dfrac{\sqrt{15}}{4} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Atente ao intervalo que pertence $x$, por isso não admiti-se a raiz negativa de $\sin{2x}$. Trabalhando a expressão desejada, temos:\begin{matrix} \sin{2x} + \sin{4x} &=& \sin{2x} + 2\sin{2x}\cos{2x} &=& \sin{2x}(1 + 2\cos{2x}) &=& \dfrac{\sqrt{15}}{8} &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}