Duas circunferências de raios iguais a $9\ m$ e $3\ m$ são tangentes externamente num ponto $C$. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos $A$ e $B$. A área, em $m^2$ , do triângulo $ABC$ é:


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ITA IIIT 28/01/2022 19:28
$-$ Esboçando a situação, isto é, ligando os raios aos pontos de tangência com a reta e entre as circunferências, pode-se ver um trapézio retângulo, este que pode ser dividido em um triângulo retângulo, e um retângulo. Além disso, não é difícil perceber que o lado menor do retângulo equivale ao raio menor $(3 m)$, e que a hipotenusa do triângulo é a soma dos raios $(12m)$, e claro, o cateto maior $(6m)$ é igual a diferença entre o lado menor do retângulo e o raio maior. Com isso, podemos encontrar $\overline{AB}$ aplicando Pitágoras no triângulo: \begin{matrix} 12^2 = 6^2 + (\overline{AB})^2 &\Rightarrow& \overline{AB} = 6\sqrt{3} \end{matrix} $-$ Agora, precisamos da altura do triângulo, iremos dividir a altura em $(3+x)$ um pedaço que equivale ao lado menor do retângulo, e o resto $(x)$. Ademais, é necessário perceber que esse $x$ divide o triângulo retângulo maior, gera-se assim um triângulo retângulo menor, semelhante ao maior. Dessa forma, por uma semelhança de triângulos iremos encontrar o valor de $x$, faremos uma relação entre os catetos e as hipotenusas: \begin{matrix} \Large{ \frac{x}{3} = \frac{6}{12} } &\Rightarrow& x = \large{ \frac{3}{2}} \end{matrix} $-$ Por fim, determinemos a área do triângulo: \begin{matrix} A =\large{ \frac{\overline{AB}.(x+3)}{2}} &\Rightarrow& \fbox{$A =\large{ \frac{27\sqrt{3}}{2}}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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