Seja $p(x)$ um polinômio de grau $3$ tal que $p(x) = p(x + 2) - x^2 - 2$, para todo $x \in \mathbb{R}$. Se $-2$ é uma raiz de $p(x)$, então o produto de todas as raízes de $p(x)$ é:


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ITA IIIT 31/12/2021 17:34
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} p(x) = p(x+2) - x^2 - 2 &,& p(-2) = 0 \end{matrix} Substituindo alguns valores em sequência, temos: \begin{matrix} p(-2) &=& 0 &&,&& p(0) &=& 6 &&,&& p(2) &=& 8 &&,&& p(4) &=& 14 \end{matrix} $-$ Como o polinômio é de terceiro grau, temos: \begin{matrix} p(x) &=& a.x^3 &+& b.x^2 &+& c.x &+& d \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $p(0) = d= 6$ $-$ Substituindo nossos resultados do início, isto é, $p(-2)$, $p(2)$ e $p(4)$, é possível formar um sistema: \begin{cases} 4a &+& c &-& 2b &=& -3 \\ 4a &+& c &+& 2b &=& -1 \\ 16a &+& c &+& 4b &=& +2 \end{cases} Resolvendo o sistema, encontramos: \begin{matrix} \fbox{$a = \frac{1}{6} \ \ , \ \ b = -\frac{1}{2} \ \ , \ \ c = \frac{4}{3} $ } \end{matrix} $-$ Com conhecimento das Relações de Girard: \begin{matrix} x_1.x_2.x_3 = -\frac{d}{a} \\ \\ \fbox{$x_1.x_2.x_3 = -36$ } \\ \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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