Seja $p(x)$ um polinômio de grau $3$ tal que $p(x) = p(x + 2) - x^2 - 2$, para todo $x \in \mathbb{R}$. Se $-2$ é uma raiz de $p(x)$, então o produto de todas as raízes de $p(x)$ é:
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever:
\begin{matrix} p(x) = p(x+2) - x^2 - 2 &,& p(-2) = 0
\end{matrix}
Substituindo alguns valores em sequência, temos:
\begin{matrix}
p(-2) &=& 0 &&,&& p(0) &=& 6 &&,&& p(2) &=& 8 &&,&& p(4) &=& 14
\end{matrix}
$-$ Como o polinômio é de terceiro grau, temos:
\begin{matrix} p(x) &=& a.x^3 &+& b.x^2 &+& c.x &+& d
\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ $p(0) = d= 6$
$-$ Substituindo nossos resultados do início, isto é, $p(-2)$, $p(2)$ e $p(4)$, é possível formar um sistema:
\begin{cases}
4a &+& c &-& 2b &=& -3 \\
4a &+& c &+& 2b &=& -1 \\
16a &+& c &+& 4b &=& +2
\end{cases}
Resolvendo o sistema, encontramos:
\begin{matrix} \fbox{$a = \frac{1}{6} \ \ , \ \ b = -\frac{1}{2} \ \ , \ \ c = \frac{4}{3} $ }
\end{matrix}
$-$ Com conhecimento das Relações de Girard:
\begin{matrix} x_1.x_2.x_3 = -\frac{d}{a} \\ \\ \fbox{$x_1.x_2.x_3 = -36$ } \\ \\ \\ Letra \ (C)
\end{matrix}
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