Considere as funções $f$ e $g$ definidas por $f(x) = x - \dfrac{2}{x}$, para $x \neq 0$ e $g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ , para $x \neq -1$. O conjunto de todas as soluções da inequação $$(g \circ f) (x)<g(x)$$ é:


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ITA IIIT 31/12/2021 15:32
Do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} (g \circ f)(x) = {\dfrac{x - \dfrac{2}{x}}{x - \dfrac{2}{x} + 1}} &\Rightarrow& (g \circ f)(x) = {\dfrac{x^2 - 2}{x^2 + x - 2}} \end{matrix} Além disso,\begin{matrix} x^2 + x - 2 = (x-1).(x + 2) &\Rightarrow& \fbox{$ (g \circ f)(x) = {\dfrac{x^2 - 2}{(x-1).(x + 2)}} $} \end{matrix}Da inequação, temos: \begin{matrix} {\dfrac{x^2 - 2}{(x-1).(x + 2)}} < \dfrac{x}{x+1} &\Rightarrow&{\dfrac{-2}{(x-1).(x + 2).(x+1)}} < 0 &\therefore&\color{}{\fbox{$x \ne 1 \ \ , \ \ x \ne -1 \ \ , \ \ x \ne -2 $}} \end{matrix}Fazendo o estudo do sinal, é possível encontrar a alternativa: \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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