Considere as funções $f$ e $g$ definidas por $f(x) = x - \dfrac{2}{x}$, para $x \neq 0$ e $g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ , para $x \neq -1$. O conjunto de todas as soluções da inequação $$(g \circ f) (x)<g(x)$$ é:


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ITA IIIT 31/12/2021 15:32
$-$ Do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} (g \circ f)(x) = \LARGE{\frac{x - \frac{2}{x}}{x - \frac{2}{x} + 1}} \\ \\ (g \circ f)(x) = \Large{\frac{x^2 - 2}{x^2 + x - 2}} \end{matrix} Além disso, \begin{matrix} x^2 + x - 2 = (x-1).(x + 2) \\ \\ \fbox{$ (g \circ f)(x) = \Large{\frac{x^2 - 2}{(x-1).(x + 2)}} $} \end{matrix} $-$ Da inequação, temos: \begin{matrix} \Large{\frac{x^2 - 2}{(x-1).(x + 2)}} < \frac{x}{x+1} \\ \\ \Large{\frac{-2}{(x-1).(x + 2).(x+1)}} < 0 \\ \\ \color{gray}{\fbox{$x \ne 1 \ \ , \ \ x \ne -1 \ \ , \ \ x \ne -2 $}} \end{matrix} Fazendo o estudo do sinal, é possível encontrar a alternativa: \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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