Duas circunferências $C_1$ e $C_2$, ambas com $1\ m$ de raio, são tangentes. Seja $C_3$ outra circunferência cujo raio mede $(\sqrt2 − 1 )\ m$ e que tangência $C_1$ e $C_2$. A área, $m^2$ , da região limitada e exterior às três circunferências dadas, é:


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ITA IIIT 28/01/2022 18:08
Ao esboçar a situação, perceba que ao ligar os raios das circunferências teremos um triângulo, este que é isósceles de lados $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ e ${2}$. Com isso, podemos determinar a altura do triângulo aplicando Pitágoras, e por conseguinte, encontrar um dos ângulos, este que nos dará os demais. • Altura $\text{H}$ \begin{matrix} (\sqrt{2})^2 = 1^2 + H^2 \ \Rightarrow \ H = 1 \\ \color{gray}{\text{O triângulo retângulo é isósceles}} \end{matrix}Se o triângulo retângulo é isósceles, isto quer dizer que o ângulo ($\alpha$) é de $45º$, assim, o ângulo maior ($\theta$) do triângulo formado pelos raios é: \begin{matrix} \theta + 2 \alpha = 180º \ \Rightarrow \ \theta =90º \\ \color{gray}{\text{Além de isósceles ele é retângulo}} \end{matrix}Agora, deve-se notar que iremos fazer uma diferença entre áreas, no caso, a área do triângulo menos a área dos setores circulares, estes que já podem ser determinados em vista de termos encontrado os ângulos. • Área do Triângulo $(A_T)$ \begin{matrix} A_T = \dfrac{b \cdot h}{2} = \dfrac{2\cdot 1}{2} &\Rightarrow & \fbox{$A_T = 1$} \end{matrix} • Note que, o setor de $C_1$ é igual ao setor de $C_2$, assim: \begin{matrix} S_1 = S_2 = S = \left(\dfrac{45º}{360º} \right) \cdot \pi \cdot 1^2 &\Rightarrow & \fbox{$S = \large{ \dfrac{\pi}{8}}$} \end{matrix} • Área do setor de $C_3$\begin{matrix} S_3 = \left(\dfrac{90º}{360º} \right) \cdot \pi \cdot (\sqrt{2} - 1)^2 &\Rightarrow & \fbox{$S_3 = \pi(3 - 2\sqrt{2})$} \end{matrix} • A diferença entre as áreas $(A)$ \begin{matrix} A = A_T - 2S - S_3 &\Rightarrow & \fbox{$A = 1 - \pi \left(1 - {\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \right)$} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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