Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado $2\ cm$. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de $45^{\circ}$. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a:


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ITA IIIT 28/01/2022 16:49
Não é difícil perceber que temos um triângulo retângulo isósceles, formado pela altura $\text{(h)}$ da pirâmide (cateto), a altura $\text{(H)}$ do triângulo da face (hipotenusa), e claro, o segmento $\text{(x)}$ formado ao ligar o centro do quadrado ao ponto médio do lado da base, que inclusive, vale metade do lado do quadrado. Dessa forma, aplicando Pitágoras, temos: \begin{matrix} H^2 = x^2 + h^2 &,& \color{}{h =x = 1 } &\therefore& H= \sqrt{2} \end{matrix}Ou simplesmente,\begin{matrix} \cos{45º} = \Large{\frac{x}{H}} &\Rightarrow& H= \sqrt{2} \end{matrix}Como são quatro faces, temos que calcular a área de quatro triângulos isósceles:\begin{matrix} A_F = 4\cdot \bigg[{\dfrac{H\cdot (2x)}{2}} \bigg] &\Rightarrow& A_F = 4\sqrt{2} \end{matrix}A área da base é a área de um quadrado, isto é, $A_Q = 2.2=4$. Portanto, podemos encontrar a razão solicitada pelo enunciado:\begin{matrix} {\dfrac{A_Q}{A_F} = \dfrac{4}{4\sqrt{2}}} &\Rightarrow& { \fbox{$\dfrac{A_Q}{A_F} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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