Considere o paralelogramo $ABCD$ onde $A = (0 , 0)$, $B = (-1 , 2)$ e $C = (-3 , -4)$. Os ângulos internos distintos e o vértice $D$ deste paralelogramo são, respectivamente:


img
ITA IIIT 28/01/2022 15:14
$-$ Sabido que, o ponto de intersecção das diagonais de um paralelogramo é também o ponto médio $(M)$ das diagonais, temos: \begin{matrix} M_{AC} = M_{BD} \end{matrix} \begin{matrix} \Large{ (\frac{x_A + x_C}{2}) = (\frac{x_B + x_D}{2})} &,& \Large{ (\frac{y_C + y_D}{2}) = (\frac{y_B + y_D}{2})} \\ \\ 0 + (-3) = (-1) + x_D && 0 + (-4) = 2 + x_D \\ \\ \fbox{$x_D = -2$} && \fbox{$y_D = -6$} \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$ D: \ (-2 \ , -6)$} \end{matrix} $-$ Calculando os lados e a diagonal do paralelogramo pela distância entre dois pontos: \begin{matrix} d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 \end{matrix} \begin{matrix} \overline{AC}^2 = (-3 - 0)^2 + (-4-0)^2 &\Rightarrow& \overline{AC} = 5 \\ \\ \overline{AB}^2 = (-1 - 0)^2 + (2-0)^2 &\Rightarrow& \overline{AB} = \sqrt{5} \\ \\ \overline{BC}^2 = [-3 - (-1)]^2 + (-3-2)^2 &\Rightarrow& \overline{BC} = 2\sqrt{10} \end{matrix} $-$ Aplicando a $\text{Lei dos Cossenos}$ \begin{matrix} \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 -2.\overline{AB}.\overline{BC}.\cos{\theta} \\ \\ \cos{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ \fbox{$\theta = \frac{\pi}{4}$} \end{matrix} $-$ Com conhecimento que os ângulos internos distintos de um paralelogramo são suplementares, podemos escrever: \begin{matrix}\alpha= \pi - \theta &\Rightarrow& \fbox{$\alpha= \frac{3\pi}{4}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000