Considere um cone circular reto cuja geratriz mede e o diâmetro da base mede . Traçam-se planos paralelos à base do cone, que o seccionam determinando cones, incluindo o original, de modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é . Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a . então, o volume, em , do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a:
A priori, sabe-se que a progressão é crescente, deste modo, o cone original deve apresentar volume $V_{n+1}$. Com isso, denotemos a razão da progressão de $r$, pela soma e razão, têm-se: \begin{matrix} S = {{\dfrac{(V_{n+1} + V_1)(n+1)}{2}}} = 2\pi &,& {{\dfrac{V_{n+1}}{V_1}}} = 2
\end{matrix}Relacionando os resultado, \begin{matrix}
\bigg({{\dfrac{3}{2}}}V_{n+1}\bigg)(n+1) = 4\pi & \color{royalblue}{(1)}
\end{matrix}Atente que, com conhecimento da geratriz $(g)$ e diâmetro $(D)$ do cone original, encontra-se a altura $(H)$ do mesmo por Pitágoras, por conseguinte, o volume, veja: \begin{matrix} g^2 = {\large{(\frac{D}{2})^2}} + H^2 &\therefore& H = 2 \ cm
\end{matrix}Então o volume,\begin{matrix} V_{n+1} = {{\dfrac{H}{3}}} \bigg[\pi {{(\dfrac{D}{2})^2}} \bigg] &\therefore& V_{n+1} = {{\dfrac{2\pi}{3}}}
\end{matrix}Substituindo nosso resultado acima em $(1)$: \begin{matrix} n = 3
\end{matrix}
O volume do cone $(V_T)$ formado por dois planos consecutivos: \begin{matrix} V_T = V_{n+1} - V_n &\Rightarrow&V_T = [V_1 + (n)\cdot r ]- [V_1 + (n-1)\cdot r] &\therefore& V_T = r& \color{royalblue}{(2)}
\end{matrix}Novamente, pela razão do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} {{\dfrac{V_{n+1}}{ V_{n+1} - n\cdot r }}} = 2 &\Rightarrow& V_{n+1} = 6 \cdot r &\Rightarrow& r = {{\dfrac{\pi}{9}}} &\therefore& V_T = {{\dfrac{\pi}{9}}} & \tiny{\blacksquare}
\end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (C)
\end{matrix}
