As retas $y = 0$ e $4x + 3y + 7 = 0$ são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem $4\ cm$ e $6\ cm$, então, a área deste paralelogramo, em $cm^2$, vale:


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ITA IIIT 28/01/2022 02:47
Sabido que, o coeficiente angular da reta também é a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas, temos:\begin{matrix} r: 4x+3y+7 = 0 &\Rightarrow& m_r = -\frac{4}{3} &\Rightarrow& \tan{\theta} = -\frac{4}{3} &\Rightarrow& \fbox{$\cos{\theta} = \sin{\theta}.(-\frac{3}{4})$} \end{matrix}Pela relação fundamental da trigonometria:\begin{matrix} \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}= 1 \\ \\ \sin^2{\theta} + [\sin{\theta}.(-\frac{3}{4})]^2 = 1 \\ \\ \fbox{$ \sin{\theta} =\frac{4}{5}$} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ A raiz negativa de $\sin$ não serve pois o ângulo seria maior que $180^{\circ}$. A área de um paralelogramo pode ser calculada através das diagonais junto ao seno do ângulo formado entre elas.\begin{matrix} A &=& \Large{ \frac{d_1.d_2. \sin{\theta}}{2}} & =& \Large{ \frac{4.6. \frac{4}{5} }{2}} \end{matrix}\begin{matrix} \fbox{$A = \Large{\frac{48}{5}}$} \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix} $• \ \text{Área de um paralelogramo:}$ O ponto de intersecção das diagonais de um paralelogramo é também ponto médio das diagonais, digamos que uma diagonal vale $2x$ e outra $2y$, assim, perceba que temos quatro triângulos de mesma área: \begin{matrix} A & =& {2\cdot \bigg(\dfrac{x.y.\sin{\theta}}{2} \bigg)} &+& {2\cdot \bigg(\dfrac{x.y.\sin{(180º-\theta)}}{2} \bigg)} \end{matrix} \begin{matrix} A &=& {\dfrac{(2x) \cdot (2y) \cdot \sin{\theta}}{2}} \end{matrix}
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