Com conhecimento que: \begin{matrix}\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} &,& \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \sqrt{3} \left( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - 2\sin{x}\cos{x} \right) + \cos{2x} &=& \sqrt{3} \tan{x}(1 - 2\cos^2{x})+ \cos{2x} &=& 0 \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} \cos{2x} -\sqrt{3} \tan{x} \cos{2x} = 0 &\therefore& \cos{2x}(1 - \tan{x}\sqrt{3}) = 0 \end{matrix}Analisando nosso resultado acima, podemos escrever: \begin{matrix} \cos{2x} = 0 &\Rightarrow& 2x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi &|& x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{4} \\ \end{matrix} Lembre-se que $x$ pertence ao intervalo $[0,2\pi]$, ou seja, podemos admitir solução para $k =0,1,2,3$. Por outro lado, também temos:\begin{matrix} 1 - \tan{x}\sqrt{3} = 0 &\Rightarrow& \tan{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} &\Rightarrow& x = \dfrac{\pi}{6} + t\pi &\therefore& t =0,1 \end{matrix}Desse modo, a soma $(S)$ de todas as raízes que encontramos é: \begin{matrix}S &=& \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{5\pi}{4} + \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{7\pi}{6} &=& \dfrac{16\pi}{3} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}