Seja $f: \mathbb{R} →\mathbb{R}$ a função definida por: $f(x) = -3a^x$, onde a é um número real, $0 < a < 1$. Sobre as afirmações:
(I) $f(x + y) = f(x)\cdot f(y)$, para todo $x, y \in \mathbb{R}$.
(II) $f$ é bijetora.
(III) $f$ é crescente e $f\bigg( ] 0 , +\infty [ \bigg) = \ ]-3 , 0[$.
Podemos concluir que:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$\begin{matrix} f(x+y) = -3.a^{x+y} \\ \\ f(x+y) = f(x). f(y) = -3.a^x.-3.a^y = 3^2.a^{x+y} \\ \\ -3.a^{x+y} \ne 3^2.a^{x+y}
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
$f$ é injetora?\begin{matrix} f(x) \ne f(y) \Leftrightarrow x \ne y \\ \\ -3.a^x \ne -3.a^y \Leftrightarrow x \ne y \\ \color{}{\fbox{Sim, ela é injetora}}
\end{matrix}
$f$ é sobrejetora?\begin{matrix} y = -3a^x \\ \\ \log^{-y}_{3a} = x \\ \color{}{\fbox{Não é sobrejetora}}
\end{matrix}
Pela condição de existência do logaritmo, $y <0$, o que quer dizer não haver imagem nos reais positivos, não representando uma sobrejeção dado o contradomínio.
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} 0 < a < 1 \\ \\ 0^x < a^x < 1^x \\ \\ 0 < 3a^x < 3 \\ \\ \fbox{$ 0 > -3a^x > -3$}
\end{matrix}Além disso, $f$ é crescente, pois $0 < a < 1$, isto é, quanto maior o valor de $x$ mais próximo de $0$ ela chega, o que respeita a definição de função crescente:\begin{matrix} x > y \ \ \Rightarrow \ \ f(x) \ge f(y) \\ \\ Letra \ (E)
\end{matrix}
