Com conhecimento das propriedades do logaritmo, mais precisamente que: $log_{a^c}b = c\cdot \log_a b$, então temos:\begin{matrix} 4x \cdot \log_5{(x+3)} \ge (x^2+3) \cdot (-1) \cdot \log_5{(x+3)} \\ \log_5{(x+3)} \cdot (x^2 + 4x + 3) \ge 0 \end{matrix}Nesse momento, temos dois casos favoráveis, são eles:\begin{matrix} \log_5{(x+3)} \ge 0 &\wedge& (x^2 + 4x + 3) \ge 0 &\vee& \log_5{(x+3)} \le 0 &\wedge& (x^2 + 4x + 3) \le 0 \end{matrix}Analisando a equação quadrática, temos: \begin{matrix} x^2 + 4x + 3 = 0 &\Rightarrow& \Delta = 4 &\therefore& x_1 = -1 &\wedge& x_2 = -3 \end{matrix}Tal que, para cada caso, têm-se: \begin{matrix} (x^2 + 4x + 3) \ge 0 &\Rightarrow& x\ge -1 &\vee& x\le -3 \\ (x^2 + 4x + 3) \le 0 &\Rightarrow& x\le -1 &\wedge& x\ge -3 \end{matrix}Já para o logaritmo, temos:\begin{matrix}\log_5{(x+3)} \ge 0 &\Rightarrow& x> -3 \\ \log_5{(x+3)} \le 0 &\Rightarrow& -3<x \le -2 \end{matrix}Portanto, \begin{matrix} x &\in& S &=& ] -3 , -2 ] &\cup& [-1, +\infty[ \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}