Sejam $A$ e $B$ matrizes reais quadradas de ordem $2$ que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz $M$ inversível tal que: $A = M^{-1}BM$. Então:


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ITA IIIT 21/02/2022 18:31
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{royalblue}{\text{Correta}}$ Com conhecimento do $\text{Teorema de Binet}$, \begin{matrix} det(A) = det(M^{-1}).det(B).det(M) &\Rightarrow& det(A) = det(B) &\Rightarrow& det(A^t) = det(B) \end{matrix} Segundo enunciado, a matriz é de ordem $2$, então: \begin{matrix} det(-A) = (-1)^2.det(A) &\Rightarrow& det(-A^t) = det(B) \end{matrix} $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Vide alternativa anterior. $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Note que, o $2$ é um escalar, estão sabido que a matriz é de ordem $2$, e com conhecimento do resultado que obtivemos na primeira alternativa, temos: \begin{matrix} det(2A) &=& (2)^2.det(A) &=& 4.det(B) \end{matrix} $• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} AB = M^{-1}BMB &\Rightarrow& det(AB) = det(M^{-1}).det(B).det(M).det(B) \end{matrix} \begin{matrix} det(AB) = det(B)^2 &\Rightarrow& (-1)^2.det(AB) = (-1)^2.det(B)^2 &\Rightarrow& det(-AB) = det(B)^2 \ge 0 \end{matrix} $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} A - I &=& M^{-1}BM - M^{-1}M &=& M^{-1}(BM- M) &=& M^{-1}(B- I)M \end{matrix} \begin{matrix} det(A-I) &=&det(M^{-1}).det(B-I).det(M) &=& det(B-I)&=& det[(-1).(I-B)] \end{matrix} \begin{matrix} det(A-I) &=& det(I-B) &=& det(B-I) \end{matrix}
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