Sejam $a, b \in \mathbb{R}$. Considere os sistemas lineares em $x$, $y$ e $z$: $$\begin{cases} x + y -z = 0 \\ x - 3y + z = 1 \\ -2y +z = a \end{cases}\begin{cases} x-y = 0\\ x+2y-z = 0\\ 2x-by+3z = 0 \end{cases}$$Se ambos admitem infinitas soluções reais, então:


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ITA IIIT 21/02/2022 16:43
Com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, podemos começar pelo segundo sistema e encontrar o valor de $b$, veja:\begin{matrix} \begin{vmatrix} 1 && -1 && 0 \\ 1 && 2 && -1 \\ 2 && -b && 3 \end{vmatrix} &=& 0 &&\Rightarrow&& \fbox{$b = 11$} \end{matrix}Poderíamos fazer o mesmo processo anterior para o primeiro sistema, mas pensando de uma forma diferente, veja que ao somar a última linha com a primeira temos: \begin{matrix} x - y = a \end{matrix}Agora, ao substituir nosso resultado na segunda linha:\begin{matrix} - 2y + z = 1-a \end{matrix}Repare na última linha do sistema, compare com nosso resultado acima,\begin{matrix} \begin{cases} - 2y &+& z &=& 1-a \\ - 2y &+& z &=& a \end{cases} &\Rightarrow& \fbox{$a= \large{\frac{1}{2}}$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra (B) \end{matrix}
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