Um fio metálico preso nas extremidades, tem comprimento $L$ e diâmetro $d$ e vibra com uma frequência fundamental de $600\ Hz$. Outro fio do mesmo material, mas com comprimento $3L$ e diâmetro $d/2$, quando submetido à mesma tensão vibra com uma frequência fundamental de:


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ITA IIIT 13/02/2022 21:35
Segundo enunciado, a tensão no fio é a mesma, isto é, utilizando a $\text{Equação de Taylor}$ podemos relacionar os dois casos, além disso, atente ao fato de que ambos são do mesmo material, logo, a densidade também é a mesma. Dessa forma, temos: \begin{matrix} v = {\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}} &,& \mu = {\dfrac{m}{l}} = \dfrac{\rho\cdot S}{l} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} v_1\cdot \sqrt{\mu_1} = v_2\cdot \sqrt{\mu_2} &\Rightarrow& \lambda_1\cdot f_1\cdot \sqrt{\dfrac{\rho\cdot S_1}{L}} = \lambda_2\cdot f_2\cdot \sqrt{\dfrac{\rho.S_2}{3L}} \end{matrix}Agora, veja que o enunciado informa ambos os fios estarem em suas frequências fundamentais, essa informação é essencial para que encontremos os seus respectivos comprimentos de onda. Com isso, podemos escrever: \begin{matrix} L = {\dfrac{\lambda_1}{2}} &,& 3L = {\dfrac{\lambda_2}{2}} \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} 2L\cdot f_1\cdot \sqrt{\dfrac{\rho\cdot S_1}{L}} = 6L\cdot f_2\cdot \sqrt{\dfrac{\rho\cdot S_2}{3L}} \\ \\ 2\cdot f_1\cdot \sqrt{\pi (d/2)^2} = 6\cdot f_2\cdot \sqrt{\dfrac{\pi (d/4)^2}{3}} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ $S= \pi\cdot R^2$ , $\text{Diâmetro = 2R}$ \begin{matrix} \fbox{$f_2 = 400 \ \pu{Hz}$} \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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