Seja $S$ o conjunto de todas as raízes da equação $2x^6- 4x^5+ 4x - 2 = 0$. Sobre os elementos de $S$ podemos afirmar que:
$-$ Não é difícil verificar que $\color{royalblue}{\text{1 e -1}}$ são raízes da equação, assim, dividindo a equação por dois e aplicando o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se:
\begin{matrix}
\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & 0 & 0 &0& 2 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0
\end{array}
&\Rightarrow&
\begin{array}{c|cccc} -1& 1 & -1 & -1 & -1 & -1 &1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0
\end{array}
\end{matrix} Com isso,
\begin{matrix} (x-1) \ . \ (x+1) \ . \ (x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1) = 0
\end{matrix} Da equação simétrica, verificamos,
\begin{matrix} x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1 =0&\Rightarrow& x^2 \ . \ ( x^2 - 2x + 2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) =0
\end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\begin{matrix} (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2
\end{matrix} $
\begin{matrix} x^2 \ . \ [ \ (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) +1 \ ] =0 &\Rightarrow&
x^2 \ . \ [ \ (x+ \frac{1}{x})^2 - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 \ ] =0
\end{matrix} Se $\color{royalblue}{(x + \frac{1}{x}) = y}$
\begin{matrix} y^2 -2y -1 = 0 &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = 1 + \sqrt{2} $} &,& \fbox{$y_2 = 1 - \sqrt{2}$}
\end{matrix} Dessa forma,
\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = 1 + \sqrt{2} &&,&& x + \frac{1}{x} = 1 - \sqrt{2}
\\ \\ \underbrace{x^2 -x(1+\sqrt{2}) + 1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes reais positivas}}}
&&,&&
\underbrace{x^2 -x(1-\sqrt{2}) +1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes não reais}}}
\end{matrix} $-$ Portanto, constatamos uma raiz real negativa, três positivas e duas não reais.
\begin{matrix} Letra \ (D)
\end{matrix}
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