Seja $S$ o conjunto de todas as raízes da equação $2x^6- 4x^5+ 4x - 2 = 0$. Sobre os elementos de $S$ podemos afirmar que:


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ITA IIIT 14/03/2022 22:53
Não é difícil verificar que $\color{royalblue}{\text{1 e -1}}$ são raízes da equação, assim, dividindo a equação por dois e aplicando o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se: \begin{matrix} \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & 0 & 0 &0& 2 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array} &\Rightarrow& \begin{array}{c|cccc} -1& 1 & -1 & -1 & -1 & -1 &1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \end{array} \end{matrix}Com isso, \begin{matrix} (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1) = 0 \end{matrix}Da equação simétrica, verificamos, \begin{matrix} x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1 =0&\Rightarrow& x^2 \cdot \left( x^2 - 2x + 2 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right) =0 \end{matrix} $\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $\begin{matrix} \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 \end{matrix} $ \begin{matrix} x^2 \cdot \left[ \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) +1 \right] =0 &\Rightarrow& x^2 \cdot \left[ \left(x+ \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 1 \right] =0 \end{matrix}Se $\color{royalblue}{\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = y}$ \begin{matrix} y^2 -2y -1 = 0 &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = 1 + \sqrt{2} $} &,& \fbox{$y_2 = 1 - \sqrt{2}$} \end{matrix} Dessa forma, \begin{matrix} x + \dfrac{1}{x} = 1 + \sqrt{2} &&,&& x + \dfrac{1}{x} = 1 - \sqrt{2} \\ \\ \underbrace{x^2 -x(1+\sqrt{2}) + 1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes reais positivas}}} &&,&& \underbrace{x^2 -x(1-\sqrt{2}) +1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes não reais}}} \end{matrix}Portanto, constatamos uma raiz real negativa, três positivas e duas não reais. \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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