Seja $S$ o conjunto de todas as raízes da equação $2x^6- 4x^5+ 4x - 2 = 0$. Sobre os elementos de $S$ podemos afirmar que:


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ITA IIIT 14/03/2022 22:53
$-$ Não é difícil verificar que $\color{royalblue}{\text{1 e -1}}$ são raízes da equação, assim, dividindo a equação por dois e aplicando o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se: \begin{matrix} \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & 0 & 0 &0& 2 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{array} &\Rightarrow& \begin{array}{c|cccc} -1& 1 & -1 & -1 & -1 & -1 &1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0 \end{array} \end{matrix} Com isso, \begin{matrix} (x-1) \ . \ (x+1) \ . \ (x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1) = 0 \end{matrix} Da equação simétrica, verificamos, \begin{matrix} x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1 =0&\Rightarrow& x^2 \ . \ ( x^2 - 2x + 2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) =0 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\begin{matrix} (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \end{matrix} $ \begin{matrix} x^2 \ . \ [ \ (x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) +1 \ ] =0 &\Rightarrow& x^2 \ . \ [ \ (x+ \frac{1}{x})^2 - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 \ ] =0 \end{matrix} Se $\color{royalblue}{(x + \frac{1}{x}) = y}$ \begin{matrix} y^2 -2y -1 = 0 &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = 1 + \sqrt{2} $} &,& \fbox{$y_2 = 1 - \sqrt{2}$} \end{matrix} Dessa forma, \begin{matrix} x + \frac{1}{x} = 1 + \sqrt{2} &&,&& x + \frac{1}{x} = 1 - \sqrt{2} \\ \\ \underbrace{x^2 -x(1+\sqrt{2}) + 1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes reais positivas}}} &&,&& \underbrace{x^2 -x(1-\sqrt{2}) +1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes não reais}}} \end{matrix} $-$ Portanto, constatamos uma raiz real negativa, três positivas e duas não reais. \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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