Seja o conjunto de todas as raízes da equação . Sobre os elementos de podemos afirmar que:
Não é difícil verificar que $\color{royalblue}{\text{1 e -1}}$ são raízes da equação, assim, dividindo a equação por dois e aplicando o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, têm-se:
\begin{matrix}
\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -2 & 0 & 0 &0& 2 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0
\end{array}
&\Rightarrow&
\begin{array}{c|cccc} -1& 1 & -1 & -1 & -1 & -1 &1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2 & 1 & 0
\end{array}
\end{matrix}Com isso,
\begin{matrix} (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1) = 0
\end{matrix}Da equação simétrica, verificamos, \begin{matrix} x^4 -2x^3 +x^2 -2x + 1 =0&\Rightarrow& x^2 \cdot \left( x^2 - 2x + 2 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right) =0
\end{matrix} $\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $\begin{matrix} \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2
\end{matrix} $
\begin{matrix} x^2 \cdot \left[ \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) +1 \right] =0 &\Rightarrow&
x^2 \cdot \left[ \left(x+ \dfrac{1}{x}\right)^2 - 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 1 \right] =0
\end{matrix}Se $\color{royalblue}{\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = y}$
\begin{matrix} y^2 -2y -1 = 0 &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = 1 + \sqrt{2} $} &,& \fbox{$y_2 = 1 - \sqrt{2}$}
\end{matrix} Dessa forma,
\begin{matrix} x + \dfrac{1}{x} = 1 + \sqrt{2} &&,&& x + \dfrac{1}{x} = 1 - \sqrt{2}
\\ \\ \underbrace{x^2 -x(1+\sqrt{2}) + 1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes reais positivas}}}
&&,&&
\underbrace{x^2 -x(1-\sqrt{2}) +1 = 0 }_{\large{\text{Duas raízes não reais}}}
\end{matrix}Portanto, constatamos uma raiz real negativa, três positivas e duas não reais.
\begin{matrix} Letra \ (D)
\end{matrix}