Seja $A$ o ponto de intersecção das retas $r$ e $s$ dadas, respectivamente pelas equações $x + y = 3$ e $x - y = - 3$. Sejam $B$ e $C$ pontos situados no primeiro quadrante com $B \in r$ e $C \in s$. sabendo que $d(A,B) = d(A,C) = \sqrt{2}$ , então a reta passando por $B$ e $C$ é dada pela equação:


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ITA IIIT 03/04/2022 01:59
A priori, veja que as retas são perpendiculares, pois, $m_r.m_s=-1$ , assim, encontrando o ponto $A$ a partir do sistema de equações formado pelas retas: \begin{matrix} \begin{cases} x+y &=& 3 \\ x-y&=& -3 \end{cases} &\therefore& x =0 &,& y = 3 \end{matrix} Desse modo, com conhecimento do ponto $A:(0,3)$, aplicando a $\text{Distância Euclidiana}$ entre os pontos $A:(0,3)$ , $B:(a,b)$ e $C:(c,d)$ , temos: \begin{matrix} d(A,B) = \sqrt{2} &\Rightarrow& (a-0)^2 + (b-3)^2 = 2 \\ d(A,C) = \sqrt{2} &\Rightarrow& (c-0)^2 + (d-3)^2 = 2 \end{matrix}Já segundo as equações das retas: \begin{matrix} \begin{cases} a+b &=& 3 \\ c-d&=& -3 \end{cases} &\Rightarrow& a^2 = (b-3)^2 &,& c^2 = (d-3)^2 \end{matrix} Substituindo nossos resultados, encontramos, \begin{matrix} a^2 = 1 &,& c^2 = 1 \end{matrix} Como o enunciado afirma os pontos estarem no primeiro quadrante, \begin{matrix} a = c = 1 \end{matrix} Substituindo nas equações das retas, \begin{matrix} b = 2 &,& d = 4 \end{matrix}Agora, conhecido os pontos $B:(1,2)$ e $C:(1,4)$, não é difícil encontrar a equação da reta, ela obrigatoriamente deve ser vertical, sendo ela $\fbox{$x = 1$}$
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\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você pode verificar esse resultado a partir da condição de alinhamento entre três pontos.
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