$• \ \text{Resolução I:}$ $P$ é o incentro, ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, ponto esse que marca o centro da circunferência inscrita ao triângulo. Além disso, não é difícil perceber que o triângulo é retângulo, com catetos $\overline{AB} = 2$ e $\overline{AC} = 3$, aplicando Pitágoras, temos $\overline{BC} = \sqrt{13}$. Dessa forma, perceba que $x=y=r$, em que $r$ é o raio da circunferência inscrita, assim, com conhecimento dos $\text{Segmentos Tangentes à Circunferência}$, podemos escrever a hipotenusa como: \begin{matrix} (3-r) + (2-r) = \sqrt{13} \end{matrix}Por conseguinte, pode-se escrever o perímetro do triângulo como, \begin{matrix} 3+ 2 + (3-r) + (2-r) = 3 +2 + \sqrt{13} \\ \\ { \fbox{$r = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}$} } \end{matrix}$x +y$: \begin{matrix} x+ y = 2r = (5-\sqrt{13}) \\ \\ x+ y = (5-\sqrt{13}) \cdot \color{royalblue}{{ { \dfrac{(5+\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})}}}} \\ \\ \fbox{$x+y = { \dfrac{12}{5+\sqrt{13}}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ Noutra perspectiva, temos a equação do incentro de um triângulo dada por: \begin{matrix} P: & { \bigg( \dfrac{aA_x + bB_x + cC_x}{a+b+c}} &,& { \dfrac{aA_y + bB_y + cC_y}{a+b+c} \bigg) } \end{matrix}Com conhecimento dos lados dos triângulos, sejam $a,b \ e \ c$, respectivamente, $\overline{BC} ,\overline{AC} \ e \ \overline{AB} $, têm-se: \begin{matrix} P: & { \bigg( \dfrac{ \sqrt{13} \cdot (0) + 3\cdot (2) + 2(0)}{\sqrt{13}+3+2}} &,& { \dfrac{ \sqrt{13} \cdot (0) + 3\cdot (0) + 2(3)}{\sqrt{13}+3+2} \bigg) } \end{matrix} Assim, segue o resultado \begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você também poderia encontrar os lados por $\text{Distância Euclidiana}$.

Denote $d_{AB}$ a distância entre os pontos $A$ e $B$ , $d_{AC}$ a distância entre os pontos $A$ e $C$ e $d_{BC}$ a distância entre os pontos $B$ e $C$. Desenhando o triângulo $ABC$ no plano cartesiano , é trivial constatar que $d_{AB} = 2$ ; $d_{AC} = 3$ e $d_{BC} = \sqrt{13}$ Note que $P$ é o incentro do triângulo $ABC$ , portanto ,a coordenada $x$ do ponto $P$ é dada por : $x = \dfrac{x_{A} \cdot d_{BC} + x_{B} \cdot d_{AC} + x_{C} \cdot d_{AB}}{d_{AB} + d_{BC} + d_{AC}} = \dfrac{ 0 \cdot \sqrt{13} + 2 \cdot 3 + 0\cdot 2}{2 + \sqrt{13} + 3}$ $= x = \dfrac{6}{5 + \sqrt{13}} $ A coordenada $y$ do ponto $P$ é dada por : $y = \dfrac{y_{A} \cdot d_{BC} + y_{B} \cdot d_{AC} + y_{C} \cdot d_{AB}}{d_{AB} + d_{BC} + d_{AC}} = \dfrac{ 0 \cdot \sqrt{13} + 0 \cdot 3 + 3\cdot 2}{2 + \sqrt{13} + 3}$ $= y = \dfrac{6}{5 + \sqrt{13}} $ $\therefore$ $\boxed{x + y = \dfrac{6}{5 + \sqrt{13}}}$ $\textbf{Resposta : Alternativa A}$

Para acrescentar mais uma solução: $1) \ Propriedade: \ ponto \ de \ encontro \ das \ bissetrizes \ internas \ de \ um \ triângulo \ é \ o \ incentro.$ $2) \ Os \ lados \ do \ triângulo \ tangenciam \ o \ círculo. \ Sendo \ assim, \ o \ incentro \ dista \ r \ de \ AB \ e \ dista \ r \ de \ AC.$ $ \ Logo, \ as \ coordenadas \ do \ incentro \ são \ (r,r). $ $3) \ Temos \ que \ a \ área \ do \ triângulo \ pode \ ser \ medida \ dentre \ outras \ maneiras, \ como: $ $$\frac{(AB)(AC)}{2}=pr$$ $Onde \ p \ é \ o \ semiperímetro \ e \ r \ é \ o \ raio \ do \ incírculo.$ $4) Utilizando \ o \ teorema \ de \ pitágoras \ conseguimos \ descobrir \ BC, \ para \ então \ calcular \ o \ semiperímetro.$ $ \ Substituímos \ na \ equação \ acima \ e \ obtemos \ o \ raio \ do \ incírculo. $ $$(AB)²+(AC)²=(BC)² \rightarrow 2²+3²=(BC)² \rightarrow BC=\sqrt{13}$$ $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$$ $$\frac{AB.AC}{2}=\frac{2.3}{2}=3 \rightarrow 3=\frac{5+\sqrt{13}}{2}.r \rightarrow r=\frac{6}{5+\sqrt{13}}$$ $$x+y=r+r=2r=\frac{12}{5+\sqrt{13}}$$