Considere os pontos $A: (0, 0)$ e $B: (2, 0)$ e $C: (0,3)$. Seja $P: (x, y)$ o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos $ABC$. Então $x + y$ é igual a:


img
ITA IIIT 27/01/2022 13:52
$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ $P$ é o incentro, ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, ponto esse que marca o centro da circunferência inscrita ao triângulo. Além disso, não é difícil perceber que o triângulo é retângulo, com catetos $\overline{AB} = 2$ e $\overline{AC} = 3$, aplicando Pitágoras, temos $\overline{BC} = \sqrt{13}$. Dessa forma, perceba que $x=y=r$, em que $r$ é o raio da circunferência inscrita, assim, com conhecimento dos $\text{Segmentos Tangentes à Circunferência}$, podemos escrever a hipotenusa como: \begin{matrix} (3-r) + (2-r) = \sqrt{13} \end{matrix} Por conseguinte, pode-se escrever o perímetro do triângulo como, \begin{matrix} 3+ 2 + (3-r) + (2-r) = 3 +2 + \sqrt{13} \\ \\ \Large{ \fbox{$r = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$} } \end{matrix} $-$ $x +y$ \begin{matrix} x+ y = 2r = (5-\sqrt{13}) \\ \\ x+ y = (5-\sqrt{13}) \ . \ \color{royalblue}{{ \large{ \frac{(5+\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})}}}} \\ \\ \fbox{$x+y = \large{ \frac{12}{5+\sqrt{13}}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ Noutra perspectiva, temos a equação do incentro de um triângulo dada por: \begin{matrix} P: & \large{ ( \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a+b+c}} &,& \large{ \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a+b+c}) } \end{matrix} $-$ Com conhecimento dos lados do triângulos, sejam $a,b \ e \ c$, respectivamente, $\overline{BC} ,\overline{AC} \ e \ \overline{AB} $, têm-se: \begin{matrix} P: & \large{ ( \frac{ \sqrt{13} . (0) + 3.(2) + 2(0)}{\sqrt{13}+3+2}} &,& \large{ \frac{ \sqrt{13} . (0) + 3.(0) + 2(3)}{\sqrt{13}+3+2}) } \end{matrix} Assim, segue o resultado \begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você também poderia encontrar os lados por $\text{Distância Euclidiana}$.
Modo de Edição
0 / 5000