Considere os pontos $A: (0, 0)$ e $B: (2, 0)$ e $C: (0,3)$. Seja $P: (x, y)$ o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos $ABC$. Então $x + y$ é igual a:


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ITA IIIT 27/01/2022 13:52
$• \ \text{Resolução I:}$ $P$ é o incentro, ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, ponto esse que marca o centro da circunferência inscrita ao triângulo. Além disso, não é difícil perceber que o triângulo é retângulo, com catetos $\overline{AB} = 2$ e $\overline{AC} = 3$, aplicando Pitágoras, temos $\overline{BC} = \sqrt{13}$. Dessa forma, perceba que $x=y=r$, em que $r$ é o raio da circunferência inscrita, assim, com conhecimento dos $\text{Segmentos Tangentes à Circunferência}$, podemos escrever a hipotenusa como: \begin{matrix} (3-r) + (2-r) = \sqrt{13} \end{matrix}Por conseguinte, pode-se escrever o perímetro do triângulo como, \begin{matrix} 3+ 2 + (3-r) + (2-r) = 3 +2 + \sqrt{13} \\ \\ { \fbox{$r = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}$} } \end{matrix}$x +y$: \begin{matrix} x+ y = 2r = (5-\sqrt{13}) \\ \\ x+ y = (5-\sqrt{13}) \cdot \color{royalblue}{{ { \dfrac{(5+\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})}}}} \\ \\ \fbox{$x+y = { \dfrac{12}{5+\sqrt{13}}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ Noutra perspectiva, temos a equação do incentro de um triângulo dada por: \begin{matrix} P: & { \bigg( \dfrac{aA_x + bB_x + cC_x}{a+b+c}} &,& { \dfrac{aA_y + bB_y + cC_y}{a+b+c} \bigg) } \end{matrix}Com conhecimento dos lados dos triângulos, sejam $a,b \ e \ c$, respectivamente, $\overline{BC} ,\overline{AC} \ e \ \overline{AB} $, têm-se: \begin{matrix} P: & { \bigg( \dfrac{ \sqrt{13} \cdot (0) + 3\cdot (2) + 2(0)}{\sqrt{13}+3+2}} &,& { \dfrac{ \sqrt{13} \cdot (0) + 3\cdot (0) + 2(3)}{\sqrt{13}+3+2} \bigg) } \end{matrix} Assim, segue o resultado \begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você também poderia encontrar os lados por $\text{Distância Euclidiana}$.
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