Sejam $a_1, a_2, a_3$ e $a_4$ números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com $a_1 \neq 0$. Sejam $x_1, x_2$ e $x_3$ as raízes da equação $a_1x^3+ a_2x^2+ a_3x + a_4 = 0$. Se $x_1 = 2i$, então:


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ITA IIIT 01/03/2022 14:47
Segundo enunciado, podemos escrever a equação como: \begin{matrix} x^3 + q\cdot x^2 + q^2\cdot x + q^3 = 0 \end{matrix}Sabido que, o conjugado da raiz complexa também é raiz, temos: \begin{matrix} x_1 = 2i &,& x_2 = -2i &,& x_3 = \ ? \end{matrix}Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, têm-se: \begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 = -q &&,&& x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -q^3 \\ \\ x_3 = -q &&&& 4\cdot x_3 = -q^3 \end{matrix}Continuando, \begin{matrix} (x_3)^3 = 4\cdot x_3 &\Rightarrow& x_3 = \pm 2 &ou& x_3 = 0 \end{matrix}Atente ao enunciado quando ele diz que a progressão é crescente, isso nos descarta $x_3 = 0$, pois faria a progressão ser constante. Além de que, descartamos $x_3=2$, pois a progressão seria decrescente. Assim, não é difícil obter: \begin{matrix} x_3 = -2 \ \ \ , \ \ \ q= 2 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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