Considere no plano complexo, um hexágono regular centrado em $z_0 = i$. Represente $z_1,z_2, ... z_6$ seus vértices, quando percorridos no sentido anti-horário. Se $z_1 = 1$ então $2z_3$ é igual a:


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ITA IIIT 27/01/2022 03:22
A priori, é necessário conhecer o hexágono regular e suas características, assim, analisando a questão, normalmente, usaríamos um $\text{ Plano de Argand-Gauss}$ e trabalharíamos nele, o que talvez fosse o ideal. Entretanto, veja que temos apenas dois pontos para "criar" um hexágono regular e uma circunferência, o que não é a coisa mais fácil do mundo explicar em texto. Por isso, iremos simplificar o problema, trabalharemos com apenas três pontos, $z_0: (0,1)$, $z_1:(1,0)$ e $z_3:(x,y)$, e claro, um pouco de abstração. Esboce (ou imagine) três pontos não colineares, eles formarão um triângulo, nesse triângulo podemos escrever: \begin{matrix} \overline{z_0z_3} = \overline{z_0z_1} = R \end{matrix}$R:$ Raio da circunferência circunscrita ao hexágono Pode-se encontrar o raio a partir da $\text{distância entre dois pontos}$:\begin{matrix} d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 \\ \\ d_{z_0z_1}^2 = R^2 = (1-0)^2 + (0-1)^2 \\ \\ \fbox{$R = \sqrt{2}$} \end{matrix}Perceba agora que $\overline{z_1z_3}$ é uma diagonal menor do hexágono, podemos encontrar ela usando a $\text{Lei dos Cossenos}$ no nosso triângulo, inclusive, é o mesmo triângulo que está no hexágono regular.\begin{matrix} \overline{z_1z_3}^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot \cos{120^{\circ}} \\ \\ \fbox{$\overline{z_1z_3} = \sqrt{6}$} \end{matrix}Agora, devemos aplicar a $\text{distância entre dois pontos}$ em ${z_1z_3} $ e ${z_0z_3} $ para encontrarmos duas equações, com duas incógnitas. • $\overline{z_1z_3} $\begin{matrix} (\sqrt{6})^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 \\ \\ \fbox{$x^2 + y^2 - 2x = 5$} \ \ (1) \end{matrix} • $\overline{z_0z_3} $ \begin{matrix} R^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 \\ \\ \fbox{$x^2 + y^2 - 2y = 1$} \ \ (2) \end{matrix}Fazendo $(2) - (1)$, encontramos: \begin{matrix} \fbox{$y = 2 + x$} \ \ (3) \end{matrix}Substituindo $(3)$ em $(1)$: \begin{matrix} x^2 + x - \dfrac{1}{2} = 0 &\Rightarrow& \Delta = 3 \\ \\ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} &\Rightarrow& \text{Raiz negativa não serve} \\ \\ { \fbox{$x = \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}$} } &\Rightarrow& { \fbox{$y = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$}} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Atente ao fato do $\text{sentido anti-horário}$, nosso ponto $z_3$ com toda certeza está no primeiro quadrante, o que inviabiliza a raiz negativa. Por fim,\begin{matrix} {z_3} : \left(\dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2} \ , \ \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2} \right) \\ \\ \fbox{$ 2z_3 = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 3)i$} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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