Seja $m \in \mathbb{R}^*_+$, tal que a reta $x - 3y - m = 0$ determina, na circunferência $(x - 1)^2 + (y +3)^2 = 25$, uma corda de comprimento $6$. O valor de $m$ é:


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ITA IIIT 26/01/2022 20:30
Pela equação da circunferência, temos: \begin{matrix} \text{Centro (C):} \ (1 \ , -3) &,& \text{Raio (R)} \ = 5 \end{matrix}Seja o ponto médio da corda $P$, com conhecimento que o segmento de reta $\overline{PC}$ é uma mediatriz, gera-se assim dois triângulos congruentes, em que a hipotenusa é o raio da circunferência, e metade da corda é um cateto. Dessa forma, podemos aplicar Pitágoras e encontrar o segmento $\overline{PC}$, entretanto, se você notar bem, nossos triângulos são egípcios $(3,4,5)$, assim: \begin{matrix} \overline{PC} = 4 \end{matrix}Calculando a distância do centro à reta (corda):\begin{matrix} \overline{PC} &=& \Large{ \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} } &=& { \dfrac{|1\cdot 1 + (-3)(-3) + (-m)|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} } &=& {\dfrac{|10-m|}{\sqrt{10}}} &=& 4 \end{matrix} \begin{matrix} |10-m| = 4\sqrt{10} \\ \Downarrow \\ \fbox{$m = 10 \pm 4\sqrt{10}$} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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